Multiplicação de matrizes

Dada duas matrizes \(A\) e \(B\), a matriz \(C\) que é dada pelo produto das matrizes \(A\) e \(B\), isto é:

$$C=A\cdot B$$

É obtida multiplicando-se as linhas da matriz \(A\) pelas colunas da matriz \(B\).

Para que haja a multiplicação de matrizes \(A\cdot B\), necessariamente o número de colunas de \(A\) deve ser igual ao número de linhas de \(B\).

A principal propriedade do produto entre duas matrizes é a não-comutatividade, isto é:

$$A\cdot B\neq B\cdot A$$

Além disso, se existir o produto \(A\cdot B\), então não necessariamente existirá \(B\cdot A\).

Há ainda as seguintes propriedades:

• Associativa: \(A\cdot(B\cdot C)=(A\cdot B)\cdot C\)
• Distributiva: \(A\cdot(B+C)=A\cdot B+A\cdot C\)
• Existência do elemento neutro: \(A\cdot I=I\cdot A\), onde \(I\) é a matriz identidade.

Evidentemente que a comutatividade só existe entre uma matriz e o elemento neutro.

A multiplicação entre duas matrizes se efetua da seguinte maneira: linha vezes coluna. Para tal, iremos ilustrar através de um exemplo.

Por exemplo, calculemos o produto entre as matrizes

$$A=\begin{bmatrix} 6 & 2 \\ 3 & 8 \end{bmatrix}$$

e

$$B=\begin{bmatrix} 5 & 4 & 0 \\ 1 & 7 & 9 \end{bmatrix}$$

Então o produto ficará:

$$A\cdot B=\begin{bmatrix} \text{1ª linha de A vezes 1ª coluna de B} & \text{1ª linha de A vezes 2ª coluna de B} & \text{1ª linha de A vezes 3ª coluna de B} \\

\text{2ª linha de A vezes 1ª coluna de B} & \text{2ª linha de A vezes 2ª coluna de B} & \text{2ª linha de A vezes 3ª coluna de B} \end{bmatrix}$$

O qual de fato existe pois \(A\) tem 2 colunas e \(B\) tem 2 linhas.

Faremos, separadamente, o primeiro termo do produto, isto é, a 1ª linha de \(A\) vezes a 1ª coluna de \(B\): a ideia consiste em multiplicar cada elemento com seu correspondente e então somar os resultados.

Ou seja, tomamos o 1º elemento da 1ª linha de \(A\) e multiplicamos com o 1º elemento da 1ª coluna de \(B\):

$$6\cdot5=30$$

E agora, o 2º elemento da 1ª linha de \(A\) multiplicado com o 2º elemento da 1ª coluna de \(B\):

$$2\cdot1=2$$

E somam-se os resultados:

$$30+2=32$$

Então, ficará, a princípio:

$$A\cdot B=\begin{bmatrix} 6\cdot5+2\cdot1 & & \\ & & \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 30 &  & \\ &  & \end{bmatrix}$$

E, evidentemente, para determinar os outros elementos, seguimos o mesmo modelo:

$$A\cdot B=\begin{bmatrix} 6\cdot5+2\cdot1 & 6\cdot4+2\cdot7 & 6\cdot0+2\cdot9 \\ 3\cdot5+8\cdot1 & 3\cdot4+8\cdot7 & 3\cdot0+8\cdot9 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 30+2 & 24+14 & 0+18 \\ 15+8 & 12+56 & 0+81 \end{bmatrix}$$

Portanto,

$$A\cdot B=\begin{bmatrix} 32 & 38 & 18 \\ 23 & 68 & 81 \end{bmatrix}$$

Consideremos agora um outro exemplo com as matrizes 

$$A=\begin{bmatrix} 2 & -1 & 3 \\ -3 & 4 & 5 \end{bmatrix}$$

e

$$B=\begin{bmatrix} 4 & -1 \\ 0 & 2 \\ -3 & 6 \end{bmatrix}$$

Note que, de fato, o produto \(A\cdot B\) existe pois o número de colunas de \(A\) é igual ao número de linhas de \(B\). Ficará assim:

$$A\cdot B=\begin{bmatrix} \text{1ª linha de A vezes 1ª coluna de B} & \text{1ª linha de A vezes 2ª coluna de B} \\ \text{2ª linha de A vezes 1ª coluna de B} & \text{2ª linha de A vezes 2ª coluna de B} \end{bmatrix}$$

Então, usando o mesmo princípio do exemplo anterior:

$$A\cdot B=\begin{bmatrix} 2\cdot4+(-1)\cdot0+3\cdot(-3) & 2\cdot(-1)+(-1)\cdot2+3\cdot 6 \\ (-3)\cdot4+4\cdot0+5\cdot(-3) & (-3)\cdot(-1)+4\cdot2+5\cdot6 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -1 & 14 \\ -27 & 41 \end{bmatrix}$$

Há alguns exercícios que pedem um único elemento resultante do produto entre duas matrizes. A ideia desse tipo de questão não é fazer, de fato, a multiplicação completa entre as duas matrizes, mas sim apenas entre as linha e coluna correspondentes.

Isto é, se chamarmos de \(C\) a matriz resultante do produto \(A\cdot B\), então o elemento \(c_{ij}\) vem da multiplicação da linha \(i\) da matriz \(A\) pela coluna \(j\) da matriz \(B\).