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Índice
Introdução
Iremos dizer que dois números \(a\) e \(b\) são múltiplos se existir um número \(n\) inteiro positivo tal que:
$$a=n\cdot b$$
Neste caso, \(a\) é múltiplo de \(b\)
Por exemplo, 8 é múltiplo de 4, já que existe um número inteiro (neste caso, 2) de modo que 8 é escrito como produto entre 4 e esse número inteiro:
$$8=2\cdot4$$
Do mesmo modo, 100 é múltiplo de 25 pois existe um número inteiro (4) que, quando multiplicado por 25, resulta em 100:
$$100=4\cdot25$$
Para encontrar o conjunto dos múltiplos de um número, basta multiplicá-lo pelos inteiros positivos.
Os múltiplos de 3, por exemplo, são:
$$\begin{array}{l} 3\cdot0=0 3\cdot1=3 3\cdot2=6 3\cdot3=9 3\cdot4=12 3\cdot5=15 \vdots \end{array}$$
Evidentemente, existem infinitos múltiplos de um número.
Principais conclusões
- Dois números a e b são múltiplos se existe um número inteiro n tal que a = n·b; nesse caso a é múltiplo de b. Exemplos: 8=2·4 e 100=4·25. Multiplicando um número por inteiros obtemos seus infinitos múltiplos.
- Para gerar múltiplos multiplica-se o número por inteiros (inclui 0), formando sequência 0, b, 2b, 3b... Propriedades úteis: 0 é múltiplo de qualquer a, todo número é múltiplo de si mesmo, e soma/diferença de múltiplos é múltiplo.
- Conceito básico da aritmética e da teoria dos números, usado para estudar divisibilidade, padrões e estruturas algébricas; fundamenta procedimentos como cálculo de MMC e MDC e modelagem de ciclos e recorrências em problemas aplicados.
- No ENEM costumam cobrar reconhecimento de padrões e demonstrações simples; evite confundir múltiplo com divisor, esquecer o caso zero ou a exigência de inteiro para n, e use expressões como b=m·a e c=n·a para provar soma/diferença.
- Aplicação prática: facilita divisão em partes iguais, detecção de periodicidade e simplificação de problemas que envolvem MMC/MDC, escalas e contagem; é ferramenta direta para resolver questões algébricas e problemas contextualizados no ENEM.
Propriedades dos múltiplos
- 0 é múltiplo de todo número, pois $$0\cdot a=0$$
- Todo número \(a\) é múltiplo de si próprio. Basta tomar \(n=1\): $$1\cdot a=a$$
- Se \(b\) e \(c\) forem múltiplos de \(a\), então a soma \(b+c\) e a diferença \(b-c\) também serão.
A demonstração desta última propriedade segue da definição de múltiplo: se \(b\) for múltiplo de \(a\), então existe inteiro \(m\) tal que:
$$b=m\cdot a$$
Do mesmo modo, sendo \(c\) múltiplo de \(a\), existe um inteiro \(n\) onde:
$$c=n\cdot a$$
Assim:
$$b+c=m\cdot a+n\cdot a=(m+n)\cdot a$$
Mas \(m+n=k\) é um número inteiro (a soma de números inteiros resulta em um número inteiro). Logo:
$$b+c=k\cdot a$$
Ou seja, \(b+c\) é um múltiplo de \(a\). A demonstração para o caso \(b-c\) é totalmente análoga ao que fora feito.
Como exemplo da última propriedade acima, podemos tomar 8 e 6 que são múltiplos de 2 pois:
$$8=4\cdot2$$
E:
$$6=3\cdot2$$
E 8+6=14 é múltiplo de 2, de fato:
$$14=7\cdot2$$
Assim como 8-6=2 é múltiplo de 2:
$$2=1\cdot2$$
Exercício de fixação
Exercícios sobre Múltiplos para vestibular
Quero Bolsa
Sobre os múltiplos de um número natural, podemos afirmar, exceto que:
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