Múltiplos

Iremos dizer que dois números \(a\) e \(b\) são múltiplos se existir um número \(n\) inteiro positivo tal que:

$$a=n\cdot b$$

Neste caso, \(a\) é múltiplo de \(b\)

Por exemplo, 8 é múltiplo de 4, já que existe um número inteiro (neste caso, 2) de modo que 8 é escrito como produto entre 4 e esse número inteiro:

$$8=2\cdot4$$

Do mesmo modo, 100 é múltiplo de 25 pois existe um número inteiro (4) que, quando multiplicado por 25, resulta em 100:

$$100=4\cdot25$$

Para encontrar o conjunto dos múltiplos de um número, basta multiplicá-lo pelos inteiros positivos.

Os múltiplos de 3, por exemplo, são:

$$\begin{array}{l} 3\cdot0=0 3\cdot1=3 3\cdot2=6 3\cdot3=9 3\cdot4=12 3\cdot5=15 \vdots \end{array}$$

Evidentemente, existem infinitos múltiplos de um número.

• 0 é múltiplo de todo número, pois $$0\cdot a=0$$
• Todo número \(a\) é múltiplo de si próprio. Basta tomar \(n=1\): $$1\cdot a=a$$
• Se \(b\) e \(c\) forem múltiplos de \(a\), então a soma \(b+c\) e a diferença \(b-c\) também serão.

A demonstração desta última propriedade segue da definição de múltiplo: se \(b\) for múltiplo de \(a\), então existe inteiro \(m\) tal que:

$$b=m\cdot a$$

Do mesmo modo, sendo \(c\) múltiplo de \(a\), existe um inteiro \(n\) onde:

$$c=n\cdot a$$

Assim:

$$b+c=m\cdot a+n\cdot a=(m+n)\cdot a$$

Mas \(m+n=k\) é um número inteiro (a soma de números inteiros resulta em um número inteiro). Logo:

$$b+c=k\cdot a$$

Ou seja, \(b+c\) é um múltiplo de \(a\). A demonstração para o caso \(b-c\) é totalmente análoga ao que fora feito.

Como exemplo da última propriedade acima, podemos tomar 8 e 6 que são múltiplos de 2 pois:

$$8=4\cdot2$$

E:

$$6=3\cdot2$$

E 8+6=14 é múltiplo de 2, de fato:

$$14=7\cdot2$$

Assim como 8-6=2 é múltiplo de 2:

$$2=1\cdot2$$