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Notação científica: para que serve e como faz
Matemática - Manual do Enem
Índice
Introdução
Notação científica é uma outra forma de escrever os números, baseada em potências de 10. Ela é útil pois podemos escrever de uma forma menor números muito grandes ou muito pequenos, que aparecem com frequência em várias áreas da Ciência.
Além disso, a notação científica facilita a visualização e comparação de ordens de grandeza entre dois ou mais números.
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Formato da notação científica
Para todos os números em notação científica, temos o seguinte formato:
\[N\cdot 10^{m}\]
Sendo N um número real qualquer que seja maior ou igual a 1 e menor que 10, ou seja:
\[N\in \mathbb{R}\mid 1\leq N\leq 10\]
E m é um número inteiro, ou seja:
\[m\in \mathbb{I}\]
- Números reais: é um conjunto numérico que engloba todos os números inteiros, fracionários e irracionais (positivos e negativos).
- Números inteiros: é um conjunto composto pelos números naturais (1, 2, 3, 4,...), e seus simétricos negativos, incluindo o zero.
Exemplos de números em notação científica
Abaixo, podemos ver alguns exemplos de números muito grandes, ou números decimais, e os mesmos no formato de notação científica.
- Exemplo de número muito grande: 2 700 000 000 = \(2,7.10^{9}\)
- Exemplo de número muito pequeno: 0,000000000136 = \(1,36.10^{-10}\)
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Como transformar um número em notação científica?
Seguindo o passo a passo abaixo, é possível transformar qualquer número em notação científica.
Primeiro passo
- Primeiramente, vamos escrever o número na forma decimal, deixando apenas um algarismo diferente de zero antes da vírgula.
- Se o número for maior que um (número muito grande), iremos deslocar a vírgula para a esquerda.
- Se o número for menor que um (número muito pequeno), iremos deslocar a vírgula para a direita.
Segundo passo
- Aqui, iremos achar o valor do expoente do número 10, ou seja, o valor de m. Para isso, vamos contar quantas casas decimais a vírgula deslocou.
- Se movermos a vírgula para a esquerda, ou seja, o número ir aumentando, o valor do expoente m será positivo.
- Se movermos a vírgula para a direita, ou seja, o número ir diminuindo, o valor do expoente m será negativo.
- Terceiro passo: por último, vamos representar através de uma multiplicação o número decimal com um algarismo antes da vírgula pelo número 10 com o expoente m calculado no segundo passo.
- Com isso teremos o número na forma de notação científica.
Exemplo 1
O número que queremos colocar no formato de notação científica é 2.700.000.000.
- Primeiro passo: andaremos com a vírgula 9 casas decimais para a esquerda, para que a vírgula fique entre os números 2 e 7. Desta forma, teremos apenas um algarismo diferente de zero antes da vírgula.
- Segundo passo: Para ter apenas um algarismo diferente de zero antes da vírgula, andamos 9 casas decimais, como apontado no passo anterior. Este número de casas andadas será o expoente do algarismo 10. Como andamos para a esquerda, o expoente será positivo.
- Terceiro passo: por fim, temos \(2,7.10^{9}\).
Exemplo 2
O número que queremos colocar no formato de notação científica é 0,000000000136.
- Primeiro passo: andaremos com a vírgula 10 casas decimais para a direita, para que a vírgula fique entre os números 1 e 3. Desta forma, teremos apenas um algarismo diferente de zero antes da vírgula.
- Segundo passo: para ter apenas um algarismo diferente de zero antes da vírgula, andamos 10 casas decimais, como apontado no passo anterior. Este número de casas andadas será o expoente do algarismo 10. Como andamos para a direita, o expoente será negativo.
- Terceiro passo: por fim, termos \(1,36.10^{-10}\).
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Operações aplicadas à notação científica
Abaixo, podemos observar as quatro operações básicas (soma, subtração, multiplicação, divisão) aplicadas à notação científica.
Soma
Só podemos realizar a soma se o expoente do número 10 for o mesmo nos dois números.
Para isso, somamos os dois números que acompanham o número 10 e mantemos a mesma base 10 e o mesmo expoente.
Logo, será dado pela seguinte fórmula:
\(a\cdot 10^{m} + b\cdot 10^{m} = (a + b)\cdot 10^{m}\)\)
Sendo:
- a: um número maior ou igual a 1 e menor que 10;
- b: um número maior ou igual a 1 e menor que 10;
- m: expoente dado por um número inteiro;
Exemplo:
\[2,7\cdot 10^{9} + 4,5\cdot 10^{9} = (2,7 + 4,5)\cdot 10^{9} = 7,2\cdot 10^{9}\]
Subtração
Assim como na soma, só podemos realizar a subtração se o expoente do número 10 for o mesmo nos dois números.
Para isso, subtraímos os dois números que acompanham o número 10 e mantemos a mesma base 10 e o mesmo expoente.
Logo, será dado pela seguinte fórmula:
\[a\cdot 10^{m} - b\cdot 10^{m} = (a - b)\cdot 10^{m}\]
Sendo:
- a: um número maior ou igual a 1 e menor que 10;
- b: um número maior ou igual a 1 e menor que 10;
- m: expoente dado por um número inteiro;
Exemplo:
\[4,5\cdot 10^{9} - 2,7\cdot 10^{9} = (4,5 - 2,7)\cdot 10^{9} = 1,8\cdot 10^{9}\]
Multiplicação
Para realizar a multiplicação na notação científica, realizamos a multiplicação dos dois números, mantemos a base 10 e somando os expoentes.
Diferente da soma e subtração, não precisamos ter o mesmo expoente para realizar a multiplicação.
Logo, será dado pela seguinte fórmula:
\[a\cdot 10^{m} \cdot b\cdot 10^{n} = (a\cdot b)\cdot 10^{m + n}\]
Sendo:
- a: um número maior ou igual a 1 e menor que 10;
- b: um número maior ou igual a 1 e menor que 10;
- m: expoente dado por um número inteiro;
- n: expoente dado por um número inteiro;
Exemplo:
\[2\cdot 10^{5}\cdot 4^10{7} = (2\cdot 4)\cdot 10^{5 + 7} = 8\cdot 10^{12}\]
Divisão
Para realizar a divisão na notação científica, realizamos a divisão dos dois números, mantendo a base 10 e subtraindo os dois expoentes.
Assim como na multiplicação, não precisamos ter o mesmo expoente para realizar a divisão.
Logo, será dado pela seguinte fórmula:
\[a\cdot 10^{m} \div b\cdot 10^{n} = (a \div b)\cdot 10^{m - n}\]
Sendo:
- a: um número maior ou igual a 1 e menor que 10;
- b: um número maior ou igual a 1 e menor que 10;
- m: expoente dado por um número inteiro;
- n: expoente dado por um número inteiro;
Exemplo:
\[4\cdot 10^{7} \div 2.10^{5} = (4 \div 2)\cdot 10^{7 - 5} = 2\cdot 10^{2}\]
Fórmulas de notação científica
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A Agência Espacial Norte Americana (NASA) informou que o asteroide YU 55 cruzou o espaço entre a Terra e a Lua no mês de novembro de 2011. A ilustração a seguir sugere que o asteroide percorreu sua trajetória no mesmo plano que contém a órbita descrita pela Lua em torno da Terra. Na figura, está indicada a proximidade do asteroide em relação à Terra, ou seja, a menor distância que ele passou da superfície terrestre.
Disponível em: http://noticias.terra.com.br (adaptado).
Com base nessas informações, a menor distância que o asteroide YU 55 passou da superfície da Terra é igual a: