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Índice
Introdução
Principalmente com a evolução do comércio, houve a necessidade de se contabilizar quando uma pessoa estava em débito com a outra.
Surgiram então os números negativos e, a partir deles e com os números positivos, construímos o conjunto dos números inteiros:
$$\mathbb{Z}=\{\ldots,-3,-2,-1,0,1,2,3,\ldots\}$$
O qual é um conjunto infinito.
Diferente dos números naturais, todo número inteiro possui um antecessor e um sucessor:
- O antecessor do número -4 é -5 e, seu sucessor, -3;
- O antecessor do número 0 é -1 e, seu sucessor, 1;
- O antecessor do número 7 é 6 e, seu sucessor, 5.
Principais conclusões
- O conjunto dos números inteiros reúne números negativos, o zero e os positivos (…,-3,-2,-1,0,1,2,3,…); é infinito, chamado Z, e caracteriza‑se por possuir antecessor e sucessor para cada elemento, essencial na aritmética e na ordem.
- Em Z a soma, subtração e multiplicação são operações fechadas, mas a divisão nem sempre produz inteiro (ex.: -2 ÷ 4 = -0,5); representam‑se na reta numérica com origem no zero e o valor absoluto mede a distância até essa origem.
- A necessidade histórica de contabilizar débitos no comércio levou à introdução dos números negativos, que somados aos positivos formaram Z; cientificamente ampliaram os naturais ao introduzir inversos aditivos e permitir modelagem de variações e simetrias.
- No ENEM, evite confundir fechamento de operações (divisão nem sempre dá inteiro), módulo e sinais; atenção às notações de subconjuntos (Z+, Z-, Z*), interpretação na reta numérica e à ligação interdisciplinar com finanças e situações cotidianas.
- Inteiros são úteis para modelar ganhos e perdas, representar posições em eixos e medir distâncias por módulo; servem como base para raciocínio algébrico, visualização em reta numérica e aplicações práticas em problemas simples do dia a dia.
Operações no conjunto dos números inteiros
Podemos efetuar quaisquer operações dentro do conjunto dos números inteiros. Entretanto, entre as quatro operações básicas, a divisão é a única que não é fechada nos inteiros, ou seja, a divisão de um número inteiro por outro inteiro não necessariamente resulta em um número inteiro:
$$-2\div4=-0,5$$
O qual não é inteiro.
Porém, a soma, a subtração e a multiplicação são operações fechadas em \(\mathbb{Z}\).
Representação gráfica dos números inteiros
É possível representar graficamente os números inteiros através de uma reta numérica.
Desenha-se uma reta horizontal e nela se marca um ponto qualquer para indicar o número zero (conhecido como origem da reta), de modo que os números à direita do zero são os números positivos e à esquerda dele, os negativos:
Valor absoluto de um número inteiro
Observe que, na reta, a distância do número 0 ao número 3 é de 3 unidades; e tal distância é a mesma do número -3 ao 0, isto é, “andamos” três casas de mesmo tamanho em ambos os casos.
Com tal ideia, definimos o valor absoluto (ou módulo) de um número inteiro que, graficamente, é a distância do número zero até ele.
Evidentemente, como estamos partindo do zero, o valor da tal distância sempre irá corresponder ao próprio número e ainda, por se tratar de distância, é sempre um valor positivo.
Denotando se por duas barras o valor absoluto temos então, a partir do nosso texto inicial, que:
$$|3|=3$$
Isto é, o valor absoluto do número 3 (a distância do número 3 à origem) é 3. E do mesmo modo:
$$|-3|=3$$
Ou seja, o módulo do número -3 (a distância do número -3 ao zero) é também 3. Isto é:
$$|3|=|-3|=3$$
A partir de tal definição, temos o conceito de números opostos: são aqueles que possuem o mesmo valor absoluto: a distância deles até a origem é igual. Assim, se \(x\) for um número inteiro, seu oposto será \(-x\).
Por exemplo, o oposto de -4 é 4 visto que:
$$|-4|=|4|=4$$
Bem como o oposto de 12 é -12 pois:
$$|12|=|-12|=12$$
É evidente que a soma de dois números opostos sempre resulta em zero, isto é, se \(n\) for um número inteiro, então seu oposto será \(-n\), logo:
$$n+(-n)=n-n=0$$
Subconjuntos dos números inteiros
Os principais subconjuntos dos números inteiros são:
- Números inteiros positivos:
$$\mathbb{Z}_{+}=\{0,1,2,3,4,\ldots\}$$ - Números inteiros negativos:
$$\mathbb{Z}_{-}=\{\ldots,-4,-3,-2,-1\}$$ - Números inteiros diferentes de zero:
$$\mathbb{Z}^{\ast}=\{\ldots,-3,-2,-1,1,2,3,\ldots\}$$
Exercício de fixação
Exercícios sobre Números inteiros para vestibular
Quero Bolsa
Sobre o conjunto dos números inteiros \(\mathbb{Z}\) é correto afirmar que
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