Números inteiros

Principalmente com a evolução do comércio, houve a necessidade de se contabilizar quando uma pessoa estava em débito com a outra. 

Surgiram então os números negativos e, a partir deles e com os números positivos, construímos o conjunto dos números inteiros:

$$\mathbb{Z}=\{\ldots,-3,-2,-1,0,1,2,3,\ldots\}$$

O qual é um conjunto infinito.

Diferente dos números naturais, todo número inteiro possui um antecessor e um sucessor:

• O antecessor do número -4 é -5 e, seu sucessor, -3;
• O antecessor do número 0 é -1 e, seu sucessor, 1;
• O antecessor do número 7 é 6 e, seu sucessor, 5.

Podemos efetuar quaisquer operações dentro do conjunto dos números inteiros. Entretanto, entre as quatro operações básicas, a divisão é a única que não é fechada nos inteiros, ou seja, a divisão de um número inteiro por outro inteiro não necessariamente resulta em um número inteiro:

$$-2\div4=-0,5$$

O qual não é inteiro.

Porém, a soma, a subtração e a multiplicação são operações fechadas em \(\mathbb{Z}\).

É possível representar graficamente os números inteiros através de uma reta numérica. 

Desenha-se uma reta horizontal e nela se marca um ponto qualquer para indicar o número zero (conhecido como origem da reta), de modo que os números à direita do zero são os números positivos e à esquerda dele, os negativos:

Valor absoluto de um número inteiro

Observe que, na reta, a distância do número 0 ao número 3 é de 3 unidades; e tal distância é a mesma do número -3 ao 0, isto é, “andamos” três casas de mesmo tamanho em ambos os casos.

Com tal ideia, definimos o valor absoluto (ou módulo) de um número inteiro que, graficamente, é a distância do número zero até ele.

Evidentemente, como estamos partindo do zero, o valor da tal distância sempre irá corresponder ao próprio número e ainda, por se tratar de distância, é sempre um valor positivo.

Denotando se por duas barras o valor absoluto temos então, a partir do nosso texto inicial, que:

$$|3|=3$$

Isto é, o valor absoluto do número 3 (a distância do número 3 à origem) é 3. E do mesmo modo:

$$|-3|=3$$

Ou seja, o módulo do número -3 (a distância do número -3 ao zero) é também 3. Isto é:

$$|3|=|-3|=3$$

A partir de tal definição, temos o conceito de números opostos: são aqueles que possuem o mesmo valor absoluto: a distância deles até a origem é igual. Assim, se \(x\) for um número inteiro, seu oposto será \(-x\).

Por exemplo, o oposto de -4 é 4 visto que:

$$|-4|=|4|=4$$

Bem como o oposto de 12 é -12 pois:

$$|12|=|-12|=12$$

É evidente que a soma de dois números opostos sempre resulta em zero, isto é, se \(n\) for um número inteiro, então seu oposto será \(-n\), logo:

$$n+(-n)=n-n=0$$

Os principais subconjuntos dos números inteiros são:

• Números inteiros positivos:
  $$\mathbb{Z}_{+}=\{0,1,2,3,4,\ldots\}$$
• Números inteiros negativos:
  $$\mathbb{Z}_{-}=\{\ldots,-4,-3,-2,-1\}$$
• Números inteiros diferentes de zero:

$$\mathbb{Z}^{\ast}=\{\ldots,-3,-2,-1,1,2,3,\ldots\}$$