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Índice
Introdução
O conjunto dos números naturais, denotado por \(\mathbb{N}\) é aquele formado pelos números “mais simples” no quesito de utilização para a contagem de quantidade de elementos:
$$\mathbb{N}=\{1,2,3,4,5,6,\ldots\}$$
Sendo ele um conjunto infinito.
Principais conclusões
- O conjunto dos números naturais, denotado por ℕ, reúne os inteiros positivos usados na contagem (1, 2, 3, ...); é infinito, serve para quantificar elementos discretos e inicia em 1, avançando por sucessores unitários.
- A construção baseia-se em sucessor e antecessor: todo natural (exceto 1) é sucessor de outro, obtido somando 1 ao antecessor; em ℕ a soma e a multiplicação são fechadas, enquanto subtração e divisão podem gerar resultados fora do conjunto.
- Conceitualmente, os naturais formam o núcleo da aritmética elementar e a ideia intuitiva de enumerar objetos; a partir deles constrói-se os inteiros e os racionais, e eles servem de modelo para quantidades discretas em problemas científicos e estatísticos.
- No ENEM, erro recorrente é assumir fechamento para todas as operações; provas exploram a necessidade de ampliar para inteiros ou racionais ao lidar com subtração e divisão, conectando matemática a contextos sociais, estatística e interpretação de dados.
- Na prática, os naturais orientam contagem, operações básicas e modelagem discreta em algoritmos; reconhecer suas limitações evita respostas inválidas e indica quando usar conjuntos maiores para diferenças negativas ou divisões não inteiras.
Construção dos números naturais
A construção dos números naturais se dá a partir da ideia do sucessor e antecessor de um número: todo número natural (exceto o número 1) é a sucessor de outro, isto é, ele é igual ao seu antecessor somado com 1:
- O número 2 é sucessor do número 1, pois 1+1=2;
- O número 7 é sucessor do número 6, pois 6+1=7;
- O número 203 é sucessor do número 202, pois 202+1=203.
- E assim por diante.
Operações nos números naturais
A princípio, podemos fazer todas as operações dentro dos conjuntos dos números naturais.
Porém, dentro das quatro operações básicas, apenas a soma e a multiplicação são fechadas.
Isto significa que:
- A soma de dois números naturais sempre resulta em um número natural.
Por exemplo: 2+3=5, 8+11=19, 90+1=91 - A multiplicação entre dois números naturais sempre resulta em um número natural.
Por exemplo: \(2\cdot4=8,7\cdot20=140,33\cdot3=99\)
Já o mesmo não se pode afirmar em relação a subtração, visto que:
$$3-5=-2$$
Não é um número natural, por exemplo, e o mesmo vale a para a divisão:
$$3\div2=1,5$$
O qual não é também um número natural.
Exercício de fixação
Exercícios sobre Números naturais para vestibular
UNESP
Se \(A=\{\x\in\mathbb{N}\mid x=4n, n\in\mathbb{N}\}\) e \(B=\{x\in\mathbb{N}^{\ast}\mid\frac{20}{x}=n, n\in\mathbb{N}\}\), então o número de elementos de \(A\cap B\) é:
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