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Índice
Introdução
Os números primos são os números naturais, maiores do que 1, que possuem somente dois divisores: ele mesmo e 1.
Por exemplo, 5 é um número primo, pois seus únicos divisores é ele próprio e 1. Já 6 não é um número primo, visto que seus divisores são 1, 2, 3 e 6.
Uma das maiores aplicações atuais dos números primos consiste na segurança da transmissão de dados através da criptografia.
Principais conclusões
- Números primos são números naturais maiores que 1 que possuem exatamente dois divisores — 1 e ele mesmo; por exemplo, 5 é primo, enquanto 6 não é, pois seus divisores são 1, 2, 3 e 6.
- Para testar ou gerar primos aplica-se a fatoração em fatores primos — o teorema fundamental da aritmética garante decomposição única — e utiliza-se o Crivo de Eratóstenes: listar a partir de 2 e eliminar múltiplos de cada primo até sobrar apenas primos.
- Números primos sustentam resultados centrais da matemática: o teorema fundamental descreve a fatoração única e a propriedade da infinitude garante existência contínua de novos primos; algoritmos como o Crivo de Eratóstenes operacionalizam esse conhecimento.
- Em contextos do ENEM evite confundir 1 com número primo, errar na decomposição por não considerar fatores repetidos ou confundir ordem; conecte exercícios a temas interdisciplinares como criptografia, tecnologia e impacto social na segurança de dados.
- Números primos têm relevância prática e contemporânea: a decomposição única e a dificuldade prática de fatoração sustentam criptossistemas usados para transmitir dados com segurança, enquanto crivos e fatorações servem em algoritmos e ensino.
Teoremas envolvendo números primos
Existem vários resultados da Matemática que envolvem os números primos. Dois deles enunciamos a seguir:
Teorema fundamental da aritmética
O teorema fundamental da aritmética diz que todo número natural maior do que 1 pode ser escrito como produto de números primos, isto é, podemos decompor em fatores primos. E, além disso, a menos da ordem dos fatores, essa decomposição é única.
Como exemplos, temos que
- $$24=2\cdot2\cdot2\cdot3$$
- $$1000=2\cdot2\cdot2\cdot5\cdot5\cdot5$$
Infinitude dos números primos
É possível mostrar que existem infinitos números primos.
Crivo de Eratóstenes
O Crivo de Eratóstenes é um método para se determinar todos os números primos a partir de 2 até um certo valor.
A ideia é bem simples: a partir do 2 (que é o menor número primo), riscam-se todos os múltiplos de 2 até o maior valor determinado.
Em seguida, toma-se o próximo número primo (que é o 3) e, do mesmo modo, riscam-se todos os seus múltiplos.
Faz-se tal processo até sobrar somentes números primos.
A animação acima aplica o crivo para determinar todos os números primos até 120.
Exercício de fixação
Exercícios sobre Números primos para vestibular
Quero Bolsa
Sobre os números primos, podemos afirmar que:
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