Números racionais

Os números racionais são todos aqueles que podem ser escritos em forma de fração de números inteiros. 

Por exemplo, tomando os números inteiros 3 e 4, e escrevendo a fração \(\frac{3}{4}\), temos que tal número formado é um número racional.

É possível afirmar o mesmo em relação ao número \(\frac{-5}{17}\), pois ele é uma fração cujo numerador e denominador são números inteiros.

Deste modo, denotando por \(\mathbb{Q}\) o conjunto dos números racionais, temos que:

$$\mathbb{Q}=\left\{\frac{a}{b},a,b\in\mathbb{Z},b\neq0\right\}$$

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Essa afirmação é simples de ser provada. Vamos considerar, por exemplo, o número natural 8. Para mostrar que ele é um número racional, basta escrevê-lo em forma de fração de números inteiros.

8 dividido por 1 é igual a 8, isto é:

$$\frac{8}{1}=8$$

Ou seja, basta “colocarmos” o número 1 no denominador e temos o que queríamos. 

Podemos fazer esse processo para todo número natural, como por exemplo:

$$\frac{3}{1}=3,\quad\frac{100}{1}=100,\quad\frac{2344}{1}=2344$$

Logo, sendo \(\mathbb{N}\) o conjunto dos números naturais, temos que

$$\mathbb{N}\subset\mathbb{Q}$$

Usando o mesmo raciocínio acima, basta colocarmos o número 1 como denominador em um número inteiro e teremos-o escrito em forma de fração:

$$\frac{-7}{1}=-7,\quad\frac{18}{1}=18,\quad\frac{0}{1}=0,\quad\frac{-33}{1}=-33$$

Assim, denotando por \(\mathbb{Z}\) o conjunto dos números inteiros, segue que

$$\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}$$

E, com isso, temos o seguinte diagrama:

Podemos escrever toda dízima através de uma fração, chamada de fração geratriz. Tal fato chega na definição de número racional.

Por exemplo, a dízima \(0,333\ldots\) é reescrita como \(\frac{1}{3}\), isto é:

$$0,333\ldots=\frac{1}{3}$$

Ou seja, escrevemos tal número como fração de dois números inteiros. Portanto, é um número racional.

O mesmo vale, por exemplo, para a dízima \(0,222\ldots\) pois:

$$0,222\ldots=\frac{2}{9}$$

• Números racionais positivos: denotando por \(\mathbb{Q}_{+}\), são todos os números racionais positivos (incluindo o zero);
• Números racionais negativos: denotando por \(\mathbb{Q}_{-}\), são todos os números racionais negativos (não se inclui o zero);
• Números racionais não-nulos: denotando por \(\mathbb{Q}^{\ast}\), são todos os números racionais diferentes de zero