Matemática
Números Reais: o que são, exemplos e como fazer operações
Publicado por Marcus Vinicius | Última atualização: 19/6/2025
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Índice
Introdução
O conjunto dos números reais, denotado por \(\mathbb{R}\), é definido como sendo a união entre os conjuntos dos números racionais (indicado por \(\mathbb{Q}\)) e dos números irracionais (indicado por \(\mathbb{I}\)):
$$\mathbb{R}=\mathbb{Q}\cup\mathbb{I}$$
Grosseiramente, os números reais englobam “todos” os números.
O motivo das aspas acima vem dos seguintes fatos:
- Como todo número natural é um número racional, isto é, sendo
$$\mathbb{N}\subset\mathbb{Q}$$
Então todo número natural também é um número real, ou seja:
$$1\in\mathbb{R},4\in\mathbb{R},100\in\mathbb{R},\ldots$$ - O mesmo raciocínio segue para o conjunto dos números inteiros:
$$\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}$$
Ou seja, todo número inteiro é também um número real:
$$-13\in\mathbb{R},-7\in\mathbb{R},0\in\mathbb{R},\ldots$$ - Sendo uma dízima um número racional, então toda dízima é um número real:
$$0,333\ldots=\frac{1}{3}\in\mathbb{R},0,222\ldots=\frac{2}{9}\in\mathbb{R},\ldots$$ - O mesmo se afirma sobre os números decimais:
$$1,233\in\mathbb{R},0,1\in\mathbb{R},\ldots$$
Temos, portanto, o seguinte diagrama:
Os únicos números que não são reais são as raízes de índice par de números negativos: \(\sqrt{-2},\sqrt{-4},\sqrt[4]{-8},\sqrt[6]{-1}\) são exemplos de números que não pertencem ao conjunto dos números reais.
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Principais conclusões
- O conjunto dos números reais (ℝ) é a união dos números racionais (ℚ) e irracionais (ℑ); abrange naturais, inteiros, decimais e dízimas periódicas, enquanto raízes de índice par de negativos (ex.: √−4) não pertencem a ℝ.
- Operações básicas são fechadas em ℝ: soma, subtração, multiplicação e divisão (com divisor ≠ 0) resultam em reais; geometricamente cada real corresponde a um ponto na reta real e subconjuntos são representados por intervalos.
- Cientificamente, ℝ formaliza a noção de continuidade e medida, distinguindo racionais de irracionais (ex.: √2); essa estrutura fundamenta cálculo e modelagem contínua em física, engenharia e estatística sem depender de datas específicas.
- No ENEM, erros comuns incluem confundir notação de intervalos (aberto/fechado/±∞), admitir raízes pares de negativos como reais e ignorar a condição divisor ≠ 0; temas interdisciplinares ligam funções, gráficos e interpretação de fenômenos sociais e naturais.
- Relevância prática: ℝ permite resolver equações, representar domínios de funções e descrever grandezas contínuas; dominar reta real, tipos de intervalos e fechamento de operações é essencial para resolver questões de análise e interpretação no exame.
Operações nos números reais
A adição, a subtração, a multiplicação e a divisão são operações fechadas nos números reais. Isto significa que:
- a soma de dois números reais é um número real;
- a diferença entre dois números reais é um número real;
- o produto entre dois números reais é um número real;
- e o quociente entre dois números reais (com o divisor diferente de zero) também é um número real.
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Reta real
A reta real é uma reta horizontal, orientada no sentido para a direita e é uma representação gráfica dos números reais.
Marcando um ponto qualquer para indicar a origem da reta, isto é, a posição do número zero, temos que: ao lado direita da origem estão os números maiores que zero, isto é, os positivos, e na região esquerda da origem estão os números negativos:
Intervalos reais
Os intervalos reais são subconjuntos da reta real, ou seja, do conjunto dos números reais. São eles:
- Intervalo fechado: \([a,b]=\{x\in\mathbb{R}\mid a\leq x\leq b\}\):
- Intervalo aberto: \(]a,b[=\{x\in\mathbb{R}\mid a< x< b\}\):
- Intervalo semi-aberto (ou semi-fechado): \(]a,b]=\{x\in\mathbb{R}\mid a< x\leq b\}\):
\([a,b[=\{x\in\mathbb{R}\mid a\leq x<b\}\):
E há ainda os intervalos no infinito:
- \([a,+\infty[=\{x\in\mathbb{R}\mid x\geq a\}\):
- \(]a,+\infty[=\{x\in\mathbb{R}\mid x>a\}\):
- \(]-\infty,b]=\{x\in\mathbb{R}\mid x\leq b\}\):
- \(]-\infty,b[=\{x\in\mathbb{R}\mid x<b\}\):
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Revisado por: Ferdinando Caíque Genghini Dantas Lobo
Formado em Matemática pela Universidade Estadual de Campinas (Unicamp), com mestrado na área pela Profmat - Unicamp. Atua como professor de Matemática desde 2012, nos colégios Asther (Campinas-SP) e Villa Lobos (Amparo-SP).
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Exercício de fixação
Exercícios sobre Números Reais: o que são, exemplos e como fazer operações para vestibular
UFF
O número \(pi-\sqrt{2}\), pertence ao intervalo:
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