Números Reais: o que são, exemplos e como fazer operações

O conjunto dos números reais, denotado por \(\mathbb{R}\), é definido como sendo a união entre os conjuntos dos números racionais (indicado por \(\mathbb{Q}\)) e dos números irracionais (indicado por \(\mathbb{I}\)):

$$\mathbb{R}=\mathbb{Q}\cup\mathbb{I}$$

Grosseiramente, os números reais englobam “todos” os números.

O motivo das aspas acima vem dos seguintes fatos:

• Como todo número natural é um número racional, isto é, sendo
  $$\mathbb{N}\subset\mathbb{Q}$$
  Então todo número natural também é um número real, ou seja:
  $$1\in\mathbb{R},4\in\mathbb{R},100\in\mathbb{R},\ldots$$
• O mesmo raciocínio segue para o conjunto dos números inteiros:
  $$\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}$$
  Ou seja, todo número inteiro é também um número real:
  $$-13\in\mathbb{R},-7\in\mathbb{R},0\in\mathbb{R},\ldots$$
• Sendo uma dízima um número racional, então toda dízima é um número real:
  $$0,333\ldots=\frac{1}{3}\in\mathbb{R},0,222\ldots=\frac{2}{9}\in\mathbb{R},\ldots$$
• O mesmo se afirma sobre os números decimais:
  $$1,233\in\mathbb{R},0,1\in\mathbb{R},\ldots$$

Temos, portanto, o seguinte diagrama:

Os únicos números que não são reais são as raízes de índice par de números negativos: \(\sqrt{-2},\sqrt{-4},\sqrt[4]{-8},\sqrt[6]{-1}\) são exemplos de números que não pertencem ao conjunto dos números reais.

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A adição, a subtração, a multiplicação e a divisão são operações fechadas nos números reais. Isto significa que:

• a soma de dois números reais é um número real;
• a diferença entre dois números reais é um número real;
• o produto entre dois números reais é um número real;
• e o quociente entre dois números reais (com o divisor diferente de zero) também é um número real.

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A reta real é uma reta horizontal, orientada no sentido para a direita e é uma representação gráfica dos números reais. 

Marcando um ponto qualquer para indicar a origem da reta, isto é, a posição do número zero, temos que: ao lado direita da origem estão os números maiores que zero, isto é, os positivos, e na região esquerda da origem estão os números negativos:

Os intervalos reais são subconjuntos da reta real, ou seja, do conjunto dos números reais. São eles:

• Intervalo fechado: \([a,b]=\{x\in\mathbb{R}\mid a\leq x\leq b\}\):

• Intervalo aberto: \(]a,b[=\{x\in\mathbb{R}\mid a< x< b\}\):

• Intervalo semi-aberto (ou semi-fechado): \(]a,b]=\{x\in\mathbb{R}\mid a< x\leq b\}\): 

\([a,b[=\{x\in\mathbb{R}\mid a\leq x<b\}\):  

E há ainda os intervalos no infinito:

• \([a,+\infty[=\{x\in\mathbb{R}\mid x\geq a\}\):

• \(]a,+\infty[=\{x\in\mathbb{R}\mid x>a\}\):

• \(]-\infty,b]=\{x\in\mathbb{R}\mid x\leq b\}\): 

• \(]-\infty,b[=\{x\in\mathbb{R}\mid x<b\}\):  

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