Whatsapp Icon 0800 123 2222
Envie mensagem ou ligue

Info Icon Ajuda Help Icon Ajuda
Matemática

Números reais

Marcus Vinicius
Publicado por Marcus Vinicius
Última atualização: 12/12/2018

Introdução

conjunto dos números reais, denotado por \(\mathbb{R}\), é definido como sendo a união entre os conjuntos dos números racionais (indicado por \(\mathbb{Q}\)) e dos números irracionais (indicado por \(\mathbb{I}\)):

$$\mathbb{R}=\mathbb{Q}\cup\mathbb{I}$$

Grosseiramente, os números reais englobam “todos” os números.

O motivo das aspas acima vem dos seguintes fatos:

  • Como todo número natural é um número racional, isto é, sendo
    $$\mathbb{N}\subset\mathbb{Q}$$
    Então todo número natural também é um número real, ou seja:
    $$1\in\mathbb{R},4\in\mathbb{R},100\in\mathbb{R},\ldots$$
  • O mesmo raciocínio segue para o conjunto dos números inteiros:
    $$\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}$$
    Ou seja, todo número inteiro é também um número real:
    $$-13\in\mathbb{R},-7\in\mathbb{R},0\in\mathbb{R},\ldots$$
  • Sendo uma dízima um número racional, então toda dízima é um número real:
    $$0,333\ldots=\frac{1}{3}\in\mathbb{R},0,222\ldots=\frac{2}{9}\in\mathbb{R},\ldots$$
  • O mesmo se afirma sobre os números decimais:
    $$1,233\in\mathbb{R},0,1\in\mathbb{R},\ldots$$

Temos, portanto, o seguinte diagrama:

Os únicos números que não são reais são as raízes de índice par de números negativos: \(\sqrt{-2},\sqrt{-4},\sqrt[4]{-8},\sqrt[6]{-1}\) são exemplos de números que não pertencem ao conjunto dos números reais.

Operações nos números reais

adição, a subtração, a multiplicação e a divisão são operações fechadas nos números reais. Isto significa que:

  • a soma de dois números reais é um número real;
  • a diferença entre dois números reais é um número real;
  • o produto entre dois números reais é um número real;
  • e o quociente entre dois números reais (com o divisor diferente de zero) também é um número real.

Reta real

reta real é uma reta horizontal, orientada no sentido para a direita e é uma representação gráfica dos números reais. 

Marcando um ponto qualquer para indicar a origem da reta, isto é, a posição do número zero, temos que: ao lado direita da origem estão os números maiores que zero, isto é, os positivos, e na região esquerda da origem estão os números negativos:

Intervalos reais

Os intervalos reais são subconjuntos da reta real, ou seja, do conjunto dos números reais. São eles:

  • Intervalo fechado: \([a,b]=\{x\in\mathbb{R}\mid a\leq x\leq b\}\):

  • Intervalo aberto: \(]a,b[=\{x\in\mathbb{R}\mid a< x< b\}\):

  • Intervalo semi-aberto (ou semi-fechado): \(]a,b]=\{x\in\mathbb{R}\mid a< x\leq b\}\): 

 

\([a,b[=\{x\in\mathbb{R}\mid a\leq x<b\}\):  

 

E há ainda os intervalos no infinito:

  • \([a,+\infty[=\{x\in\mathbb{R}\mid x\geq a\}\):

  • \(]a,+\infty[=\{x\in\mathbb{R}\mid x>a\}\):

  • \(]-\infty,b]=\{x\in\mathbb{R}\mid x\leq b\}\): 

 

  • \(]-\infty,b[=\{x\in\mathbb{R}\mid x<b\}\):  

  


Exercícios

Exercício 1
(UFF)

O número \(pi-\sqrt{2}\), pertence ao intervalo:

Ilustração: Rapaz corpulento de camiseta, short e tênis acenando

Inscreva-se abaixo e receba novidades sobre o Enem, Sisu, Prouni e Fies:

Carregando...