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Índice
Introdução
Chamamos de par ordenado todo conjunto de dois elementos nos quais a ordem importa. O par ordenado formado pelos elementos \(a\) e \(b\) é escrito como:
$$(a,b)$$
onde indica-se que \(a\) é correspondente ao primeiro elemento e \(b\) ao segundo.
Evidentemente, pela definição temos que
$$(a,b)\neq(b,a)$$
Por exemplo, o par ordenado
$$(1,-3)$$
nos diz que o primeiro elemento dele é \(1\), enquanto o segundo elemento é \(-3\). E ainda, pode-se notar que
$$(1,-3)\neq(-3,1)$$
pois, no segundo par ordenado acima, o primeiro elemento é \(-3\) - e não \(1\) - enquanto o segundo vale \(1\) - e não \(-3\).
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Principais conclusões
- Par ordenado é o conjunto formado por dois elementos em que a ordem importa; escrito (a,b) indica que o primeiro componente é a e o segundo é b, portanto (a,b) normalmente difere de (b,a) e trocar posições altera o par.
- Funciona por posição e igualdade: (a,b)=(c,d) somente se a=c e b=d; na representação no plano cartesiano o primeiro valor corresponde a x e o segundo a y, traçando-se retas perpendiculares aos eixos cujo encontro determina o ponto.
- No contexto matemático, o par ordenado fundamenta a geometria analítica ao conectar álgebra e geometria; permite representar pontos e relações entre variáveis e sustenta o estudo de funções, vetores, sistemas lineares e aplicações em ciências.
- Em provas como o ENEM, erro comum é inverter coordenadas ou confundir pares com conjuntos; verifique igualdade componente a componente e associe primeiro→x e segundo→y; questões integram gráficos, funções, vetores e interpretação de dados.
- Relevância prática: o par ordenado localiza pontos, interpreta gráficos e modela problemas reais; serve para resolver sistemas, representar vetores, visualizar dados e constitui base para aplicações tecnológicas que utilizam coordenadas.
Igualdade entre pares ordenados
Dois pares ordenados serão iguais se, e somente se, seus primeiros elementos forem iguais entre si, bem como os segundos elementos, isto é:
$$(a,b)=(c,d)\Leftrightarrow a=b\;\;\text{e}\;\;c=d$$
Representação gráfica de um par ordenado
Podemos representar um par ordenado através de um ponto no plano cartesiano. Para explicar melhor, ilustremos com um exemplo.
Tomando o par \((3,1\), temos que, neste caso, o primeiro elemento sempre corresponde ao valor de \(x\), ou seja:
$$x=3$$
Então, a partir do eixo \(x\) no plano cartesiano, traçamos uma reta perpendicular a tal eixo, de modo que ela passe pelo número 3:
Analogamente, o segundo elemento do par ordenado corresponde ao valor de \(y\):
$$y=1$$
Assim, a partir do eixo \(y\), iremos traçar uma reta perpendicular a ele passando pelo número 1:
O lugar de encontro das duas retas perpendiculares aos eixos que traçamos anteriormente corresponde à representação do ponto \((3,1)\), o qual iremos denotar por \(P\):
Dizemos que \((3,1)\) são as coordenadas do ponto \(P\).
Revisado por: Ferdinando Caíque Genghini Dantas Lobo
Formado em Matemática pela Universidade Estadual de Campinas (Unicamp), com mestrado na área pela Profmat - Unicamp. Atua como professor de Matemática desde 2012, nos colégios Asther (Campinas-SP) e Villa Lobos (Amparo-SP).
Exercício de fixação
Exercícios sobre Par Ordenado para vestibular
FUVEST
Se \((m+2n,m-4)\) e \((2-m,2n)\) representam o mesmo ponto do plano cartesiano, então \(m^{n}\) é igual a:
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