Considere um polígono convexo em um plano, de modo que todos os seus pontos estejam ligados a um ponto fora desse plano:
Ao conjunto acima, damos o nome de pirâmide.
O polígono do plano é chamado de base da pirâmide e o ponto fora dele é dito ser o vértice da pirâmide. Temos, ainda, a altura da pirâmide, que corresponde à menor distância entre o vértice da pirâmide e o plano da base.
Os triângulos que se formam quando ligamos os vértices da base com o vértice da pirâmide são chamados de faces da pirâmide.
A área de uma pirâmide é dada pela soma da área da base com a área lateral, que corresponde à soma das áreas de todas as faces.
$$A_{t}=A_{b}+A_{L}$$
Se \(h\) for a medida da altura pirâmide, então seu volume será:
$$V=\frac{1}{3}\cdot A_{b}\cdot h$$
Por exemplo, na pirâmide de base quadrada a seguir, temos que a sua altura vale 5cm e, as arestas da base, 3cm.
Logo,
$$A_{b}=3^{2}=9$$
Portanto, seu volume será de
$$V=\frac{1}{3}\cdot9\cdot5\Rightarrow V=15cm^{3}$$
Chamamos de pirâmide regular aquela cujo polígono da base é regular, ou seja, possui todos os lados de mesma medida.
Deste modo, conseguimos mostrar que os triângulos das faces são isósceles, de modo que a base de cada triângulo corresponde ao lado do polígono.
Sendo a base um polígono regular, podemos aplicar o conceito do apótema da base, que é a distância do centro do polígono ao seu lado.
E sendo \(H\) a medida da altura de uma face, é possível mostrar, por meio do Teorema de Pitágoras, que:
$$H^{2}=h^{2}+a^{2}$$
Considerando que \(h\) é a medida da altura da pirâmide. Neste caso, em particular, a altura \(H\) da face é chamada de apótema da pirâmide.
Por exemplo, se uma pirâmide regular tiver a sua base formada por um quadrado de lado 6cm, então seu apótema mede
$$a=3cm$$
E, supondo que a altura da pirâmide seja igual a
$$h=4cm$$
Então, o apótema da pirâmide valerá
$$H^{2}=4^{2}+3^{2}\Rightarrow H=5cm$$
Uma pirâmide quadrangular regular tem todas as arestas iguais a \(x\). O volume dessa pirâmide é: