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Índice
Introdução
Considere um polígono convexo em um plano, de modo que todos os seus pontos estejam ligados a um ponto fora desse plano:
Ao conjunto acima, damos o nome de pirâmide.
O polígono do plano é chamado de base da pirâmide e o ponto fora dele é dito ser o vértice da pirâmide. Temos, ainda, a altura da pirâmide, que corresponde à menor distância entre o vértice da pirâmide e o plano da base.
Os triângulos que se formam quando ligamos os vértices da base com o vértice da pirâmide são chamados de faces da pirâmide.
Principais conclusões
- Pirâmide é um sólido formado por um polígono convexo (base) e um ponto fora do plano (vértice); as faces são triângulos que ligam vértices da base ao vértice e a altura é a menor distância do vértice ao plano da base.
- A área total é At = Ab + AL, com AL sendo soma das áreas das faces; o volume vale V = (1/3)·Ab·h, onde Ab é a área da base e h a altura; em pirâmide regular o apótema da face H satisfaz H² = h² + a².
- No estudo geométrico, pirâmides ilustram sólidos formados por uma base poligonal e triângulos laterais; em pirâmide regular as faces são triângulos isósceles, usa-se o apótema da base e o Teorema de Pitágoras para relacionar h, a e H.
- Em provas como o ENEM erra-se ao confundir área da base com área lateral, esquecer o fator 1/3 no volume ou trocar apótema da base pelo da face; questões costumam integrar geometria espacial com escala, projeto e interpretação de medidas.
- Pirâmides sintetizam conceitos chave de geometria espacial: volume via Ab·h/3, decomposição em faces para áreas e uso de apótemas para cálculos rápidos; aplicam-se em problemas de capacidade, projeto geométrico e modelagem em arquitetura e engenharia.
Área de uma pirâmide
A área de uma pirâmide é dada pela soma da área da base com a área lateral, que corresponde à soma das áreas de todas as faces.
$$A_{t}=A_{b}+A_{L}$$
Volume de uma pirâmide
Se \(h\) for a medida da altura pirâmide, então seu volume será:
$$V=\frac{1}{3}\cdot A_{b}\cdot h$$
Por exemplo, na pirâmide de base quadrada a seguir, temos que a sua altura vale 5cm e, as arestas da base, 3cm.
Logo,
$$A_{b}=3^{2}=9$$
Portanto, seu volume será de
$$V=\frac{1}{3}\cdot9\cdot5\Rightarrow V=15cm^{3}$$
Pirâmide regular
Chamamos de pirâmide regular aquela cujo polígono da base é regular, ou seja, possui todos os lados de mesma medida.
Deste modo, conseguimos mostrar que os triângulos das faces são isósceles, de modo que a base de cada triângulo corresponde ao lado do polígono.
Sendo a base um polígono regular, podemos aplicar o conceito do apótema da base, que é a distância do centro do polígono ao seu lado.
E sendo \(H\) a medida da altura de uma face, é possível mostrar, por meio do Teorema de Pitágoras, que:
$$H^{2}=h^{2}+a^{2}$$
Considerando que \(h\) é a medida da altura da pirâmide. Neste caso, em particular, a altura \(H\) da face é chamada de apótema da pirâmide.
Por exemplo, se uma pirâmide regular tiver a sua base formada por um quadrado de lado 6cm, então seu apótema mede
$$a=3cm$$
E, supondo que a altura da pirâmide seja igual a
$$h=4cm$$
Então, o apótema da pirâmide valerá
$$H^{2}=4^{2}+3^{2}\Rightarrow H=5cm$$
Fórmulas
Exercício de fixação
Exercícios sobre Pirâmide para vestibular
CESGRANRIO
Uma pirâmide quadrangular regular tem todas as arestas iguais a \(x\). O volume dessa pirâmide é:
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