Ponto médio e baricentro

O ponto médio entre dois pontos \(A\) e \(B\) é aquele que se localiza no meio do segmento de reta, com extremidades em tais pontos. Isto é, se \(M\) for o ponto médio:

Então:

$$AM=MB$$

Ou seja, ele divide o segmento de reta \(\bar{AB}\) em duas partes iguais.

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Se \(M(x_{M},y_{M})\) for o ponto médio entre \(A(x_{A},y_{A})\) e \(B(x_{B},y_{B})\), então temos que as coordenadas de \(M\) são obtidas pelas médias aritméticas das coordenadas de \(A\) e \(B\):

• $$x_{M}=\frac{x_{A}+x_{B}}{2}$$
• $$y_{M}=\frac{y_{A}+y_{B}}{2}$$

Por exemplo, se \(A(1,2)\) e \(B(3,4)\), então o ponto médio entre eles é:

$$M\left(\frac{1+3}{2},\frac{2+4}{2}\right)=M\left(\frac{4}{2},\frac{6}{2}\right)\Rightarrow M(2,3)$$

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Mediana

Uma aplicação importante do ponto médio consiste na determinação do comprimento de uma mediana qualquer de um triângulo.

Por exemplo, vamos tomar o triângulo \(ABC\) exibido na figura abaixo:

A mediana \(\bar{AM}\) é o segmento de reta que sai do vértice \(A\) e chega no ponto médio \(M\) do lado \(\bar{BC}\).

Para determinar o seu comprimento, devemos, inicialmente, encontrar as coordenadas de \(M\). E, assim, o tamanho \(AM\) será a distância entre os pontos \(A\) e \(M\).

Por exemplo, se um triângulo \(ABC\) tiver vértices \(A(1,2),B(3,4)\) e \(C(1,6)\), então o ponto médio entre \(B\) e \(C\) tem coordenadas:

$$M\left(\frac{3+1}{2},\frac{4+6}{2}\right)=M(2,5)$$

Logo, a mediana \(\bar{AM}\) terá comprimento dado por:

$$d^{2}=(1-2)^{2}+(2-5)^{2}=(-1)^{2}+(-3)^{2}=1+9$$

$$\Rightarrow d^{2}=10$$

Ou seja:

$$AM=\sqrt{10}$$

Baricentro

O baricentro de um triângulo é o ponto de encontro das medianas. Ele geralmente é denotado pela letra \(G\), pois coincide com o centro de gravidade do triângulo.

Se \(A(x_{A},y_{A})\), \(B(x_{B},y_{B})\) e (C(x_{C},y_{C})\) forem os vértices de um triângulo \(ABC\), então seu baricentro poderá ser calculado pela média aritmética dos vértices:

$$G(x_{G},y_{G})=G\left(\frac{x_{A}+x_{B}+x_{C}}{3},\frac{y_{A}+y_{B}+y_{C}}{3}\right)$$

Tomando como exemplo o triângulo do exemplo anterior, temos que seu baricentro tem coordenadas dadas por:

$$G\left(\frac{1+3+1}{3},\frac{2+4+6}{3}\right)=G\left(\frac{5}{3},4\right)$$