Ponto, Reta e Plano | o Que São, Conceitos e Como Diferenciar

Na geometria euclidiana, trabalharemos a partir de três elementos iniciais: são os chamados entes primitivos que são: o ponto, a reta e o plano. Eles são chamados de entes primitivos pois não conseguimos defini-los de maneira formal e sistemática. Nós apenas sabemos o que são a partir da nossa própria intuição.

Iremos representá-los da seguinte maneira:

Observe que:

• um ponto é representado por uma letra maiúscula do alfabeto latino;
• uma reta é denotada por uma letra minúscula do alfabeto latino;
• e um plano é representado por uma letra grega minúscula.

A partir de tais conceitos, veremos como eles se relacionam entre si.

As afirmações que são aceitas seja por consenso ou porque simplesmente não é possível demonstrá-las são chamadas de postulados ou axiomas.

Abaixo, introduzimos e classificamos postulados que relacionam os entes primitivos apresentados anteriormente.

Postulados da existência

• Existem infinitos pontos dentro e fora de uma reta: isso significa que podemos tomar quantos pontos quisermos em uma reta ou fora dela, conforme ilustra a figura a seguir.

• Existem infinitos pontos dentro e fora de um plano: do mesmo modo, podemos tomar quantos pontos quisermos em um plano ou fora dele.

Postulados de posição

• Dados dois pontos A e B, então ou A e B são coincidentes:

isto é, são o mesmo ponto, só apresentam nomes diferentes; ou eles são distintos:

• Dado um ponto P e uma reta r, então ou P está na reta r (e escrevemos P \(\in\) r):

ou P não está em r ( P\(\notin\) r): 

• Dois pontos distintos determinam uma única reta que passa por eles. Abaixo, a reta r é determinada pelos pontos A e B:

É evidente que dados quaisquer dois pontos distintos, conseguiremos traçar uma reta entre eles. Mas a partir de três pontos ou mais, isso não necessariamente é verdade. Assim, dizemos que pontos colineares são aqueles pertencentes a uma mesma reta. E três ou mais pontos serão chamados de não-colineares caso não consigamos traçar uma única reta que os contém.

• Três pontos não-colineares determinam um único plano que os contém. Na figura a seguir, A, B e C são não-colineares e assim determinam o plano α:

Neste caso, dizemos que os pontos A, B e C são coplanares, pois eles pertencem a um mesmo plano

Postulado da inclusão

• Se dois pontos distintos de uma reta também forem pontos de um plano, então esta reta também estará nesse plano.

Os postulados da existência, da determinação e da inclusão são os mais importantes e o que mais costumam ser cobrados em exercícios.

Revisado por: Ferdinando Caíque Genghini Dantas Lobo

Formado em Matemática pela Universidade Estadual de Campinas (Unicamp), com mestrado na área pela Profmat - Unicamp. Atua como professor de Matemática desde 2012, nos colégios Asther (Campinas-SP) e Villa Lobos (Amparo-SP).