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Matemática

Ponto, reta e plano

Marcus Vinicius
Publicado por Marcus Vinicius
Última atualização: 22/10/2018

Introdução

A geometria que estudamos no ensino básico é chamada de geometriaeuclidiana e recebe esse nome graças ao matemático grego Euclides de Alexandria, pois foi ele quem organizou de maneira sistemática a geometria que hoje conhecemos.

Entes primitivos

Na geometria euclidiana, trabalharemos a partir de três elementos iniciais: são os chamados entes primitivos que são: o ponto, a reta e o plano. Eles são chamados de entes primitivos pois não conseguimos defini-los de maneira formal e sistemática. Nós apenas sabemos o que são a partir da nossa própria intuição.

Iremos representá-los da seguinte maneira:

Observe que:

  • um ponto é representado por uma letra maiúscula do alfabeto latino;
  • uma reta é denotada por uma letra minúscula do alfabeto latino;
  • e um plano é representado por uma letra grega minúscula.

A partir de tais conceitos, veremos como eles se relacionam entre si.

Postulados

As afirmações que são aceitas seja por consenso ou porque simplesmente não é possível demonstrá-las são chamadas de postulados ou axiomas.

Abaixo, introduzimos e classificamos postulados que relacionam os entes primitivos apresentados anteriormente.

Postulados da existência

  • Existem infinitos pontos dentro e fora de uma reta: isso significa que podemos tomar quantos pontos quisermos em uma reta ou fora dela, conforme ilustra a figura a seguir.

  • Existem infinitos pontos dentro e fora de um plano: do mesmo modo, podemos tomar quantos pontos quisermos em um plano ou fora dele.

Postulados de posição

  • Dados dois pontos A e B, então ou A e B são coincidentes:

isto é, são o mesmo ponto, só apresentam nomes diferentes; ou eles são distintos:

  • Dado um ponto P e uma reta r, então ou está na reta r (e escrevemos P \(\in\) r):

ou não está em r ( P\(\notin\) r): 

  • Dois pontos distintos determinam uma única reta que passa por eles. Abaixo, a reta r é determinada pelos pontos A e B:

É evidente que dados quaisquer dois pontos distintos, conseguiremos traçar uma reta entre eles. Mas a partir de três pontos ou mais, isso não necessariamente é verdade. Assim, dizemos que pontos colineares são aqueles pertencentes a uma mesma reta. E três ou mais pontos serão chamados de não-colineares caso não consigamos traçar uma única reta que os contém.

  • Três pontos não-colineares determinam um único plano que os contém. Na figura a seguir, A, B e C são não-colineares e assim determinam o plano α:

Neste caso, dizemos que os pontos A, B e C são coplanares, pois eles pertencem a um mesmo plano

Postulado da inclusão

  • Se dois pontos distintos de uma reta também forem pontos de um plano, então esta reta também estará nesse plano.

Os postulados da existência, da determinação e da inclusão são os mais importantes e o que mais costumam ser cobrados em exercícios.


Exercícios

Exercício 1
(Quero Bolsa)

Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F):

  • Três pontos distintos são sempre colineares.
  • Três pontos distintos são sempre coplanares.
  • Quatro pontos distintos determinam duas retas.
  • Por quatro pontos todos distintos pode passar uma só reta.
  • Três pontos pertencentes a um plano são sempre colineares
  • e assinale a alternativa correta:

    Ilustração: Rapaz corpulento de camiseta, shorts e tênis acenando

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