Matemática
Posições relativas entre duas circunferências
Publicado por Marcus Vinicius | Última atualização: 19/6/2025
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Índice
Introdução
Dadas duas circunferências \(\lambda_{1}\) e \(\lambda_{2}\), respectivamente de centro \(C_{1}\) e \(C_{2}\) e com raios \(R_{1}\) e \(R_{2}\), então temos algumas posições relativas entre elas.
Principais conclusões
- As posições relativas entre duas circunferências indicam se elas são tangentes internas, tangentes externas, secantes, externas, internas ou concêntricas, definidas pelo número de pontos em comum e pela comparação entre a distância dos centros e os raios R1 e R2.
- Avalia-se por igualdades e desigualdades entre d(C1,C2), R1 e R2: tangentes internas quando d = R1 − R2, tangentes externas quando d = R1 + R2, secantes quando d < R1 + R2, externas quando d > R1 + R2, internas quando d < R1 − R2 e concêntricas quando d = 0.
- Trata-se de um conceito clássico da geometria euclidiana que organiza interseções de circunferências e fundamenta problemas de loci, construções e demonstrações em geometria plana, servindo como base para raciocínios geométricos mais complexos.
- Em questões no ENEM, erros frequentes incluem confundir soma com diferença dos raios, ignorar qual raio é maior ao usar R1−R2 e não traduzir corretamente condições geométricas em desigualdades; costuma aparecer ligado a álgebra, coordenadas e trigonometria.
- Dominar essas relações permite resolver problemas sobre interseção e tangência, construir tangentes e transformar situações geométricas em equações úteis para desenho técnico, modelagem geométrica e implementação em programação gráfica.
Tangente internas
Neste caso, há um único ponto em comum entre elas e a distância entre seus centros é igual à diferença entre os raios:
$$d_{C_{1}C_{2}}=R_{1}-R_{2}$$
Tangentes externas
Elas têm um único ponto em comum e a distância entre os centros é igual à soma dos raios:
$$d_{C_{1}C_{2}}=R_{1}+R_{2}$$
Secantes
Duas circunferências secantes possuem dois pontos em comum, de modo que a distância entre seus centros é menor que a soma das medidas dos seus raios:
$$d_{C_{1}C_{2}}<R_{1}+R_{2}$$
Externas
Chamamos de circunferências externas aquelas que não possuem pontos em comum e a distância entre os seus centros é maior que a soma dos raios:
$$d_{C_{1}C_{2}}>R_{1}+R_{2}$$
Internas
Duas circunferências internas não possuem pontos em comum e a distância entre seus centros é menor que a diferença entre as medidas dos seus raios:
$$d_{C_{1}C_{2}}<R_{1}-R_{2}$$
Concêntricas
Por fim, duas circunferências são ditas concêntricas se o centro delas coincidirem entre si. Neste caso, a distância entre eles é nula:
$$d_{C_{1}C_{2}}=0$$
Revisado por: Ferdinando Caíque Genghini Dantas Lobo
Formado em Matemática pela Universidade Estadual de Campinas (Unicamp), com mestrado na área pela Profmat - Unicamp. Atua como professor de Matemática desde 2012, nos colégios Asther (Campinas-SP) e Villa Lobos (Amparo-SP).
Exercício de fixação
Exercícios sobre Posições relativas entre duas circunferências para vestibular
Quero Bolsa
Dadas as circunferências:
- $$\lambda_{1}\colon x^{2}+y^{2}=9$$
- $$\lambda_{2}\colon(x-3)^{2}+(y-1)^{2}=4$$
Pode se dizer que elas são:
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