Matemática

Posições relativas entre retas e circunferência

Publicado por Marcus Vinicius | Última atualização: 19/6/2025

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Índice

Introdução

Dada uma reta $r$ de equação geral:

$$ax+by+c=0$$

E uma circunferência $\lambda$ de raio $R$ com centro no ponto:

$$C(x_{C},y_{C})$$

Então, há três possíveis posições relativas entre a reta e a circunferência. A análise é feita a partir da distância $d_{r,C}$ entre o centro $C$ a reta $r$ em relação ao raio da circunferência.

Principais conclusões

Posições relativas entre uma reta r e uma circunferência λ classificam diretamente o tipo de interseção: nenhuma (reta externa), uma (tangente) ou duas (secante), julgadas pela comparação entre a distância d_{C,r} do centro e o raio R.
A determinação técnica compara a distância d_{C,r} do centro C à reta r com o raio R: d_{C,r}>R indica reta externa, d_{C,r}=R indica tangente e d_{C,r}<R indica secante; a reta tem equação geral ax+by+c=0.
Esse tema pertence à geometria analítica, unindo álgebra e geometria ao transformar posições geométricas em desigualdades envolvendo distâncias; é usado para estudar loci, interseções e propriedades métricas em planos cartesianos.
No ENEM, erro comum é supor interseção sem comparar d_{C,r} e R; sempre calcule a distância do centro à reta e compare com o raio, integrando esse procedimento a resolução por sistemas, gráficos e interpretação de enunciados.
A regra d_{C,r} versus R tem aplicação prática em problemas de construção, engenharia e computação gráfica, pois reduz a análise de interseção entre linha e círculo a uma comparação numérica simples e replicável em modelagem.

Reta externa

A reta $r)\ será externa à circunferência \(\lambda$ se elas não tiverem nenhum ponto em comum:

$$r\cap\lambda=\varnothing$$

Neste caso, temos:

$$d_{C,r}>R$$

Reta tangente

A reta $r$ será tangente à circunferência $\lambda$ se existir um único ponto de intersecção entre elas:

Neste caso, a distância será:

$$d_{C,r}=R$$

Reta secante

A reta $r$ será secante à circunferência $\lambda$ se a intersecção entre elas forem dois pontos:

Neste caso:

$$d_{C,r}<R$$

Revisado por: Ferdinando Caíque Genghini Dantas Lobo

Formado em Matemática pela Universidade Estadual de Campinas (Unicamp), com mestrado na área pela Profmat - Unicamp. Atua como professor de Matemática desde 2012, nos colégios Asther (Campinas-SP) e Villa Lobos (Amparo-SP).

Exercício de fixação

Exercícios sobre Posições relativas entre retas e circunferência para vestibular

Passo 1 de 3

UFSM

A equação da circunferência com centro no ponto $C(2,1)$ e tangente à reta $3x-4y+8=0$ é:

A $(x^{2}+2)^{2}+(y-1)^{2}=8$

B $(x^{2}-2)^{2}+(y-1)^{2}=2$

C $(x-2)^{2}+(y-1)^{2}=2$

D $(x-2)^{2}+(y-1)^{2}=4$

E $(x-2)^{2}-(y-1)^{2}=4$

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