Potenciação

Chamamos de potenciação a operação que envolve a multiplicação de um número por ele mesmo uma certa quantidade de vezes. Ou seja, a potência \(a^{n}\) (lê-se a elevado a n) é o número \(a\) multiplicado por ele mesmo \(n\) vezes, isto é:

$$a^{n}=\underbrace{a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot\ldots\cdot a}_{n\;\text{vezes}}$$

Definimos o número \(a\) de base da potência e \(n\) o seu expoente.

Como exemplo, temos:

• \(2^{3}=2\cdot2\cdot2=8\)
• \((-3)^{4}=(-3)\cdot(-3)\cdot(-3)\cdot(-3)=81\)
• \((-5)^{3}=(-5)\cdot(-5)\cdot(-5)=-125\)

Note que, para qualquer \(a\in\mathbb{R}\), temos

$$a^{1}=a$$

Ou seja, quando o expoente está omitido, ele vale sempre 1.

A partir dos exemplos 2 e 3 acima, temos a seguinte propriedade:

• Se a base for negativa e o expoente for par, então a potência será um número positivo;
• Caso a base seja negativa e o expoente for ímpar, a potência será um valor negativo.

São válidas as seguintes propriedades envolvendo potenciação:

• Multiplicação de potência de mesma base: conserva-se a base e somam-se os expoentes: $$a^{m}\cdot a^{n}=a^{m\cdot n}$$
• Divisão de potência de mesma base: conserva-se a base e subtraem-se os expoentes: $$\frac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}$$
• Potência de outro potência: conserva-se a base e multiplicam-se os expoentes: $$(a^{m})^{n}=a^{m\cdot n}$$

Observe que as propriedades acima são válidas apenas para potências de mesma base. Podemos exemplificá-las como a seguir:

• \((-3)^{2}\cdot(-3)^{4}=(-3)^{2+4}=(-3)^{6}\)
• \(2^{6}\div2=2^{6}\div2^{1}=2^{6-1}=2^{5}\)
• \((\pi^{6})^{7}=\pi^{6\cdot7}=\pi^{42}\)

Há, ainda, outras duas propriedades que envolvem potências de bases quaisquer, porém com o mesmo expoente:

• Potência do produto é o produto das potências:
  $$(a\cdot b)^{n}=a^{n}\cdot b^{n}$$
• Potência da divisão é a divisão das potências:
  $$\left(\frac{a}{b}\right)^{n}=\frac{a^{n}}{b^{n}}$$

Por exemplo:

• \((2\cdot4)^{7}=2^{7}\cdot4^{7}\)
• \((5\div3)^{3}=5^{3}\div3^{3}\)

Todas as propriedades acima podem ser demonstradas através da definição de potência.

E, por fim, temos que todo número \(a\) diferente de zero, quando elevado a zero, é igual a 1:

$$a^{0}=1$$

É importante ressaltar que:

$$(a+b)^{n}\neq a^{n}+b^{n}$$

Se \(n\in\ZZ\) tal que \(n\geq0\), então definimos:

$$a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}$$

Ou seja, para calcularmos uma potência de expoente negativo, devemos inverter a base e, então, inverter o sinal do expoente, conforme ilustram os exemplos a seguir:

• \(2^{-2}=\left(\frac{2}{1}\right)^{-2}=\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1^{2}}{2^{2}}=\frac{1}{4}\)

• \(\left(\frac{3}{5}\right)^{-3}=\left(\frac{5}{3}\right)^{3}=\frac{5^{3}}{3^{3}}=\frac{127}{27}\)

Todas as propriedades acima também valem para potências de expoente negativo.

Quando o expoente de uma potência for um número racional da forma \(\frac{m}{n}\), transformamos esse número em uma raiz de índice \(n\) com o radicando elevado a \(m\):

$$a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^{m}}$$

Por exemplo:

• \(2^{\frac{1}{2}}\)=\sqrt[2]{2^{1}}=\sqrt{2}}\)

• \(\left(\frac{3}{4}\right)^{-\frac{2}{5}}=\left(\frac{4}{3}\right)^{\frac{2}{5}}=\sqrt[5]{\left(\frac{4}{3}\right)^{2}}=\sqrt[5]{\frac{4^{2}}{3^{2}}}=\sqrt[5]{\frac{16}{9}}\)

Para demonstrar essa propriedade, usaremos o “caminho inverso” da que diz na divisão de potência de mesma base, conserva-se a base e subtraem-se os expoentes.

Temos que:

$$a^{0}=a^{1-1}$$

Pois 0=1-1. Assim, como temos uma subtração nos expoentes, podemos reescrever, usando a propriedade de divisão de potência de mesma base que

$$a^{1-1}=\frac{a^{1}}{a^{1}}=\frac{a}{a}$$

Mas:

$$\frac{a}{a}=1$$

Logo:

$$a^{0}=1$$