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Índice
Introdução
Considere dois polígonos congruentes que se encontram em planos paralelos distintos:
O conjunto formado a partir da união entre os respectivos pontos desses polígonos é chamado de prisma.
Os polígonos acima são chamados de bases do prisma. Além disso, cada vértice desses polígonos também é chamada de vértice do prisma.
Observe que há segmentos de retas que unem tanto os vértices de uma base, e aqueles cujas extremidades são pontos de bases diferentes. A tais segmentos damos o nome de aresta do prisma. Neste caso, podem ser aresta da base ou aresta lateral.
Uma face lateral é o quadrilátero que se forma a partir das arestas da base e laterais. Por fim, a altura \(h\) de um prisma é a menor distância entre as suas bases.
Principais conclusões
- Dois polígonos congruentes em planos paralelos formam um prisma: a união dos pontos correspondentes gera um sólido com duas bases congruentes, vértices, arestas (de base e laterais), faces laterais quadriláteras e altura h como a menor distância entre bases.
- Arestas laterais unem vértices correspondentes; prisma reto tem arestas laterais perpendiculares às bases e faces laterais retangulares, prisma oblíquo tem arestas inclinadas e faces paralelogramos; Área total At=2·Ab+AL e volume V=Ab·h.
- Em geometria espacial, prismas têm secções transversais paralelas às bases congruentes ao polígono-base; classificam-se pelo número de lados da base (triangular, quadrangular, pentagonal etc.) e são regulares quando a base é um polígono com lados iguais.
- Frequente erro no ENEM: confundir aresta lateral com altura em prismas oblíquos; tomar h como aresta lateral leva a volume errado. Verifique Ab e AL antes de aplicar fórmulas; relacione com física (volume, densidade) e problemas práticos.
- Prismas aplicam-se a cálculos práticos: V=Ab·h calcula capacidade e At=2Ab+AL estima superfície para revestimento ou material, útil em projetos de embalagem, construção e engenharia para prever custo e quantidade de material.
Classificação de um prisma
- Prisma oblíquo: é aquele cujas arestas laterais não são perpendiculares às arestas da base. Neste caso, as faces laterais são paralelogramos.
- Prisma reto: é aquele cujas arestas das laterais e da base são perpendiculares entre si. Nele, as faces laterais são retângulos.
Nomenclatura de um prisma
O nome de um prisma está ligado ao polígono que forma a sua base. Por exemplo:
- Se a base for um triângulo, então é um prisma triangular;
- Se a base for um quadrilátero, então é um prisma quadrangular;
- Se a base for um pentágono, então é um prisma pentagonal.
Chamamos de prisma regular aquele cujas bases são polígonos regulares, isto é, as medidas de seus lados são iguais entre si.
Área de um prisma
A área lateral \(A_{L}\) de um prisma é a soma de todas as áreas das faces. Denotando por \(A_{b}\) a área da sua base, então a área total de um prisma é:
$$A_{t}=2\cdot A_{b}+A_{L}$$
Por exemplo, no prisma triangular regular reto a seguir, temos que a área da base corresponde à área de um triângulo equilátero de lado medindo 4cm, isto é
$$A_{b}=\frac{\ell^{2}\sqrt{3}}{4}=\frac{4^{2}\sqrt{3}}{4}\Rightarrow A_{b}=4\sqrt{3}$$
Como a medida da aresta lateral é de 5cm, então a área de uma face vale:
$$A_{f}=4\cdot5=20$$
Logo, a área lateral é:
$$A_{L}=3\cdot A_{f}=3\cdot20\Rightarrow A_{L}=60$$
Portanto, a área total desse prisma será igual a:
$$A_{t}=2\cdot4\sqrt{3}+60\Rightarrow A_{t}=8\sqrt{3}+60$$
Volume de um prisma
O volume de um prisma é dado pelo produto da sua área da base pela sua altura:
$$V=A_{b}\cdot h$$
Tomando o prisma do exemplo anterior, temos que sua altura vale 5cm, logo:
$$V=A_{b}\cdot h=4\sqrt{3}\cdot5\Rightarrow V=20\sqrt{3}$$
Fórmulas
Exercício de fixação
Exercícios sobre Prismas para vestibular
FMU
O volume de um prisma hexagonal regular, cuja altura é 10cm e cujo lado da base mede 2cm, é igual a, em cm³:
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