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Matemática

Prismas

Marcus Vinicius
Publicado por Marcus Vinicius
Última atualização: 27/3/2019

Introdução

Considere dois polígonos congruentes que se encontram em planos paralelos distintos:

O conjunto formado a partir da união entre os respectivos pontos desses polígonos é chamado de prisma.


Os polígonos acima são chamados de bases do prisma. Além disso, cada vértice desses polígonos também é chamada de vértice do prisma.

Observe que há segmentos de retas que unem tanto os vértices de uma base, e aqueles cujas extremidades são pontos de bases diferentes. A tais segmentos damos o nome de aresta do prisma. Neste caso, podem ser aresta da base ou aresta lateral.

Uma face lateral é o quadrilátero que se forma a partir das arestas da base e laterais. Por fim, a altura \(h\) de um prisma é a menor distância entre as suas bases.


Classificação de um prisma

  • Prisma oblíquo: é aquele cujas arestas laterais não são perpendiculares às arestas da base. Neste caso, as faces laterais são paralelogramos.
  • Prisma reto: é aquele cujas arestas das laterais e da base são perpendiculares entre si. Nele, as faces laterais são retângulos.

Nomenclatura de um prisma

O nome de um prisma está ligado ao polígono que forma a sua base. Por exemplo:

  • Se a base for um triângulo, então é um prisma triangular;
  • Se a base for um quadrilátero, então é um prisma quadrangular;
  • Se a base for um pentágono, então é um prisma pentagonal.

Chamamos de prisma regular aquele cujas bases são polígonos regulares, isto é, as medidas de seus lados são iguais entre si.

Área de um prisma

área lateral \(A_{L}\) de um prisma é a soma de todas as áreas das faces. Denotando por \(A_{b}\) a área da sua base, então a área total de um prisma é:

$$A_{t}=2\cdot A_{b}+A_{L}$$

Por exemplo, no prisma triangular regular reto a seguir, temos que a área da base corresponde à área de um triângulo equilátero de lado medindo 4cm, isto é


$$A_{b}=\frac{\ell^{2}\sqrt{3}}{4}=\frac{4^{2}\sqrt{3}}{4}\Rightarrow A_{b}=4\sqrt{3}$$

Como a medida da aresta lateral é de 5cm, então a área de uma face vale:

$$A_{f}=4\cdot5=20$$

Logo, a área lateral é:

$$A_{L}=3\cdot A_{f}=3\cdot20\Rightarrow A_{L}=60$$

Portanto, a área total desse prisma será igual a:

$$A_{t}=2\cdot4\sqrt{3}+60\Rightarrow A_{t}=8\sqrt{3}+60$$

Volume de um prisma

O volume de um prisma é dado pelo produto da sua área da base pela sua altura:

$$V=A_{b}\cdot h$$

Tomando o prisma do exemplo anterior, temos que sua altura vale 5cm, logo:

$$V=A_{b}\cdot h=4\sqrt{3}\cdot5\Rightarrow V=20\sqrt{3}$$

Fórmulas



Exercícios

Exercício 1
(FMU)

O volume de um prisma hexagonal regular, cuja altura é 10cm e cujo lado da base mede 2cm, é igual a, em cm³:

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