Probabilidade condicional

A probabilidade condicional, como o próprio nome diz, é uma maneira de se calcular a probabilidade de um evento, dado que outro já aconteceu.

Um exemplo seria: qual a probabilidade de, no lançamento de um dado, sair o número 6, sabendo que o número obtido é par?

Ou ainda: qual a probabilidade de um bebê ser do sexo masculino, sabendo que a probabilidade de os pais terem um do sexo feminino é o dobro?

Assim, se tomarmos dois eventos $A$ e $B$, a probabilidade de ocorrer $A$ dado que ocorreu $B$ é:

$$P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$$

E, de tal expressão, obtemos outra que se utiliza bastante:

$$P(A\cap B)=P(A\mid B)\cdot P(B)$$

Vamos exemplificar com a seguinte situação: considere que, no lançamento de dois dados, soma-se os números obtidos nas faces superiores de cada um. Pergunta-se: qual a probabilidade de se obter a soma igual a 6, sabendo que os números são ímpares?

Temos então, dois eventos:

• evento $A$: a soma ser igual a 6;
• evento $B$: os dois números serem ímpares.

Queremos, contudo, calcular:

$$P(A\mid B\)$$

Isto é, a probabilidade de a soma dos números das faces ser igual a 6, dado que os números são ímpares.

Pela fórmula, devemos calcular $$P(A\cap B)$$ , que é a probabilidade de a soma ser igual a 6 e os números serem ímpares; e também precisamos saber o valor de :

$$P(B)$$

Esta é a probabilidade de os dois números das faces serem ímpares. A tabela a seguir nos dá os possíveis resultados das somas no lançamento de dois dados:

Note que:

• $$P(A\cap B)=\frac{3}{36}=\frac{1}{12}$$
• $$P(B)=\frac{9}{36}=\frac{1}{4}$$

Logo:

$$P(A\cap B)=\dfrac{\dfrac{1}{12}}{\dfrac{1}{4}}=\frac{1}{12}\cdot\frac{4}{1}\Rightarrow P(A\cap B)=\frac{1}{3}$$