Considerando dois eventos \(A\) e \(B\) de um espaço amostral \(S\), a probabilidade da união \(A\cup B\) é dada pela seguinte fórmula:
$$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$$
De modo que, se \(A\) e \(B\) forem eventos mutuamente exclusivos, isto é, \(A\cap B=\varnothing\), então:
$$P(A\cup B)=P(A)+P(B)$$
A primeira fórmula dada acima é consequência direta da expressão que nos dá o número de elementos da união de dois conjuntos e da definição de probabilidade de um evento:
$n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)$$
Suponha, por exemplo, que são lançados dois dados e anota-se a soma dos números das faces superiores. Busca-se saber a probabilidade de a soma ser um número ímpar ou múltiplo de três.
Como o exemplo pede número ímpar ou múltiplo de três, então este “ou” indica probabilidade da união de dois eventos:
- Evento \(A\): a soma ser um número ímpar;
- Evento \(B\): a soma ser um múltiplo de três.
Logo, queremos calcular:
$$P(A\cup B)$$
E, para isso, devemos determinar:
- a probabilidade de acontecer somente o evento \(A\): \(P(A)\);
- a probabilidade de acontecer somente o evento \(B\): \(P(B)\);
- e a probabilidade de acontecer os eventos \(A\) e \(B\) ao mesmo tempo: \(P(A\cap B)\).
Para tal, consideremos a seguinte tabela que dá os possíveis valores das somas dos números das faces superiores de dois dados:
Abaixo, destacamos os números ímpares:
Logo, há 18 possibilidades, em 36, de a soma ser ímpar, ou seja:
$$P(A)=\frac{18}{36}$$
Destacando-se os múltiplos de 3, temos:
Isto é, existem 12 possibilidades, dentre 36, de a soma ser um múltiplo de 3. Portanto:
$$P(B)=\frac{12}{36}$$
E destacando os números que são ímpares e múltiplos de 3 ao mesmo tempo:
Concluindo que existem 6 números ímpares e múltiplos de 3:
$$P(A\cap B)=\frac{6}{36}$$
Com estes dados, obtemos a probabilidade da união:
$$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=\frac{18}{36}+\frac{12}{36}-\frac{6}{36}$$
$$\Rightarrow P(A\cup B)=\frac{24}{36}=\frac{2}{3}$$