Probabilidade da união de dois eventos

Considerando dois eventos \(A\) e \(B\) de um espaço amostral \(S\), a probabilidade da união \(A\cup B\) é dada pela seguinte fórmula:

$$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$$

De modo que, se \(A\) e \(B\) forem eventos mutuamente exclusivos, isto é, \(A\cap B=\varnothing\), então:

$$P(A\cup B)=P(A)+P(B)$$

A primeira fórmula dada acima é consequência direta da expressão que nos dá o número de elementos da união de dois conjuntos e da definição de probabilidade de um evento:

$n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)$$

Suponha, por exemplo, que são lançados dois dados e anota-se a soma dos números das faces superiores. Busca-se saber a probabilidade de a soma ser um número ímpar ou múltiplo de três.

Como o exemplo pede número ímpar ou múltiplo de três, então este “ou” indica probabilidade da união de dois eventos:

• Evento \(A\): a soma ser um número ímpar;
• Evento \(B\): a soma ser um múltiplo de três.

Logo, queremos calcular:

$$P(A\cup B)$$

E, para isso, devemos determinar:

• a probabilidade de acontecer somente o evento \(A\): \(P(A)\);
• a probabilidade de acontecer somente o evento \(B\): \(P(B)\);
• e a probabilidade de acontecer os eventos \(A\) e \(B\) ao mesmo tempo: \(P(A\cap B)\).

Para tal, consideremos a seguinte tabela que dá os possíveis valores das somas dos números das faces superiores de dois dados:

Abaixo, destacamos os números ímpares:

Logo, há 18 possibilidades, em 36, de a soma ser ímpar, ou seja:

$$P(A)=\frac{18}{36}$$

Destacando-se os múltiplos de 3, temos:

Isto é, existem 12 possibilidades, dentre 36, de a soma ser um múltiplo de 3. Portanto:

$$P(B)=\frac{12}{36}$$

E destacando os números que são ímpares e múltiplos de 3 ao mesmo tempo:

Concluindo que existem 6 números ímpares e múltiplos de 3:

$$P(A\cap B)=\frac{6}{36}$$

Com estes dados, obtemos a probabilidade da união:

$$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=\frac{18}{36}+\frac{12}{36}-\frac{6}{36}$$

$$\Rightarrow P(A\cup B)=\frac{24}{36}=\frac{2}{3}$$