Assim como é possível realizar operações matemáticas com números, é possível fazer operações com vetores. Uma dessas operações é o produto escalar, realizada entre dois vetores, que resulta sempre em uma grandeza escalar, ou seja, um número real.
Trata-se de uma operação diferente do produto vetorial, que resulta em um vetor. Utilizamos a seguinte representação para o produto escalar, que também pode ser chamado de produto interno:
Vamos interpretar o produto escalar geometricamente. Para dois vetores A e B, ele é definido como sendo o produto entre o módulo do vetor B e o módulo da projeção do vetor A sobre B. Em outras palavras, o produto escalar é sempre dado por:
Por enquanto, não se preocupe com o significado dessa definição, mas tente memorizá-la. Uma das aplicações mais comuns do produto escalar está no cálculo do ângulo formado entre dois vetores. Para isso, isola-se o cosseno do ângulo, de modo que:
Essa fórmula mostra-se útil graças a uma segunda forma de se encontrar o produto escalar entre dois vetores, agora algebricamente. Ela requer que conheçamos apenas as componentes ortogonais dos dois vetores. Para exemplificar, vamos calcular o produto escalar a seguir:
Essas duas interpretações de produto escalar podem ser aplicadas em um mesmo caso, como veremos a seguir.
Exemplo
Encontre o ângulo formado entre cada par de vetores:
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Dois vetores podem formar um ângulo do tipo agudo, reto ou obtuso. É possível classificá-lo analisando seu cosseno, como feito acima. Vamos fazer isso nos seguintes exemplos:
Dessa forma, se o produto escalar entre dois vetores é igual a zero, conclui-se que eles são ortogonais entre si, isto é, formam um ângulo de 90°.
Se o produto escalar for positivo, os vetores formam um ângulo agudo.
Finalmente, se o produto escalar foi negativo, os vetores formam um ângulo obtuso.
Abaixo, estão listadas as propriedades do produto escalar. Note, por exemplo, que a ordem dos vetores não altera o resultado.
Podemos usar as propriedades do produto escalar para demonstrar, por exemplo, o Teorema de Pitágoras.
A desigualdade de Cauchy-Schwarz é recorrente para provar outras desigualdades, e pode ser lembrada facilmente por meio da definição de produto escalar, como veremos abaixo:
Vamos verificar essa desigualdade no exemplo abaixo:
Cabe pensar quando os termos serão exatamente iguais. Essa igualdade ocorrerá somente quando os vetores forem paralelos entre si, ou seja, quando o ângulo formado entre eles for zero.
Usando o conceito de produto escalar, é possível calcular a projeção de um vetor sobre outro. Para fazer isso, usamos o vetor que se será projetado, e subtraímos dele sua componente perpendicular ao vetor no qual se deseja projetar.
Observe o raciocínio ilustrado abaixo:
Isso resulta na seguinte fórmula:
Exemplo
Encontre o vetor da projeção a seguir:
Resolução:
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ABC é um triângulo equilátero de lado L. O produto escalar AB∙BC é: