Produto Escalar | entre vetores, propriedades e fórmulas

Assim como é possível realizar operações matemáticas com números, é possível fazer operações com vetores. Uma dessas operações é o produto escalar, realizada entre dois vetores, que resulta sempre em uma grandeza escalar, ou seja, um número real. 

Trata-se de uma operação diferente do produto vetorial, que resulta em um vetor. Utilizamos a seguinte representação para o produto escalar, que também pode ser chamado de produto interno:

Vamos interpretar o produto escalar geometricamente. Para dois vetores A e B, ele é definido como sendo o produto entre o módulo do vetor B e o módulo da projeção do vetor A sobre B. Em outras palavras, o produto escalar é sempre dado por:

Por enquanto, não se preocupe com o significado dessa definição, mas tente memorizá-la. Uma das aplicações mais comuns do produto escalar está no cálculo do ângulo formado entre dois vetores. Para isso, isola-se o cosseno do ângulo, de modo que:

Essa fórmula mostra-se útil graças a uma segunda forma de se encontrar o produto escalar entre dois vetores, agora algebricamente. Ela requer que conheçamos apenas as componentes ortogonais dos dois vetores. Para exemplificar, vamos calcular o produto escalar a seguir:

Essas duas interpretações de produto escalar podem ser aplicadas em um mesmo caso, como veremos a seguir.

Exemplo

Encontre o ângulo formado entre cada par de vetores:

📚 Você vai prestar o Enem 2020? Estude de graça com o Plano de Estudo Enem De Boa 📚

Dois vetores podem formar um ângulo do tipo agudo, reto ou obtuso. É possível classificá-lo analisando seu cosseno, como feito acima. Vamos fazer isso nos seguintes exemplos:

Dessa forma, se o produto escalar entre dois vetores é igual a zero, conclui-se que eles são ortogonais entre si, isto é, formam um ângulo de 90°. 

Se o produto escalar for positivo, os vetores formam um ângulo agudo. 

Finalmente, se o produto escalar foi negativo, os vetores formam um ângulo obtuso.

Abaixo, estão listadas as propriedades do produto escalar. Note, por exemplo, que a ordem dos vetores não altera o resultado.

Podemos usar as propriedades do produto escalar para demonstrar, por exemplo, o Teorema de Pitágoras.

A desigualdade de Cauchy-Schwarz é recorrente para provar outras desigualdades, e pode ser lembrada facilmente por meio da definição de produto escalar, como veremos abaixo:

Vamos verificar essa desigualdade no exemplo abaixo:

Cabe pensar quando os termos serão exatamente iguais. Essa igualdade ocorrerá somente quando os vetores forem paralelos entre si, ou seja, quando o ângulo formado entre eles for zero.

Usando o conceito de produto escalar, é possível calcular a projeção de um vetor sobre outro. Para fazer isso, usamos o vetor que se será projetado, e subtraímos dele sua componente perpendicular ao vetor no qual se deseja projetar. 

Observe o raciocínio ilustrado abaixo:

Isso resulta na seguinte fórmula:

Exemplo

Encontre o vetor da projeção a seguir:

Resolução:

🎓 Você ainda não sabe qual curso fazer? Tire suas dúvidas com o Teste Vocacional Grátis do Quero Bolsa 🎓

Revisado por: Ferdinando Caíque Genghini Dantas Lobo

Formado em Matemática pela Universidade Estadual de Campinas (Unicamp), com mestrado na área pela Profmat - Unicamp. Atua como professor de Matemática desde 2012, nos colégios Asther (Campinas-SP) e Villa Lobos (Amparo-SP).