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Índice
Introdução
A projeção de uma figura sob um plano pode ser visualizada como sua sombra em relação a ele. Estudamos, em geral, a projeção ortogonal das figuras, pois, como iremos mostrar adiante, traçaremos segmentos de retas perpendiculares ao plano a fim de se obter a projeção propriamente dita.
Principais conclusões
- Projeção ortogonal é a "sombra" de uma figura sobre um plano: para um ponto P, a projeção P" é o pé da perpendicular traçada de P ao plano π; para uma figura, sua projeção é o conjunto das projeções ortogonais de todos os seus pontos.
- Obtém‑se projetando cada ponto por um segmento perpendicular ao plano; o extremo sobre o plano é a projeção do ponto. A projeção de uma reta é um ponto se a reta for perpendicular ao plano (interseção); caso contrário, a projeção da reta será outra reta.
- Na geometria espacial, a projeção ortogonal formaliza a ideia intuitiva de sombra e funciona como ferramenta básica de visualização, permitindo representar e analisar objetos tridimensionais em um plano para facilitar o raciocínio geométrico.
- Em questões tipo ENEM, erro comum é confundir quando a projeção de uma reta é um ponto ou uma reta; interpretar corretamente "pé da perpendicular" e lembrar que a projeção de uma figura é o conjunto das projeções dos seus pontos evita equívocos em provas interdisciplinares.
- A projeção ortogonal simplifica problemas 3D ao reduzi‑los a 2D, útil em resolução de exercícios, esboços e representações geométricas; dominar suas regras permite construir representações planas precisas e resolver problemas espaciais com maior clareza.
Projeção de um ponto
A projeção ortogonal de um ponto \(P\) sob um plano \(\pi\) é um ponto \(P’\) que chamamos de pé da perpendicular pois ele é o extremo do segmento da reta \(\bar{PP’}\), o qual é perpendicular ao plano \(\pi\).
Projeção de uma figura
A projeção ortogonal de uma figura é definida como sendo o conjunto de todas os projeções ortogonais dos pontos que compõem essa figura.
Projeção de uma reta
Se a reta for perpendicular ao plano, a sua projeção será um ponto. Em particular, tal ponto é aquele em comum entre a reta e o plano.
Mas caso a reta não seja perpendicular ao plano, a sua projeção será outra reta.
Exercício de fixação
Exercícios sobre Projeção para vestibular
UFSCAR
Considere um plano \(\alpha\) e um ponto \(P\) qualquer do espaço. Se por \(P\) traçarmos a reta perpendicular a \(\alpha\), a intersecção dessa reta com \(\alpha\) é um ponto chamado projeção ortogonal do ponto \(P\) sobre \(\alpha\). No caso de uma figura \(F\) do espaço, a projeção ortogonal de \(F\) sobre \(\alpha\) é definida pelo conjunto das projeções ortogonais de seus pontos. Com relação a um plano qualquer fixado, podemos dizer que:
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