Retas paralelas

Basicamente, retas paralelas são aquelas que nunca se encontram. Porém, podemos visualizar tal conceito em duas áreas diferentes (mas que se conectam) dentro da matemática.

A geometria espacial é aquela que estuda os sólidos e os objetos no espaço. Deste modo, o conceito de retas paralelas precisa ser um pouco melhor trabalhado para não haver ambiguidades.

Dadas duas retas no espaço, elas podem pertencer a um mesmo plano:

Ou não:

Na primeira figura, temos exemplos de retas coplanares; já na segunda imagem, dizemos que as retas são reversas, pois não existe nenhum plano que as contém ao mesmo tempo.

Assim, com base na geometria espacial, retas paralelas devem ser coplanares e, evidentemente, não se encontram em nenhum ponto.

Uma reta é sempre paralela de si mesma (chamamos tal propriedade de reflexiva), então, a partir de tal afirmação, definimos, ainda, as retas paralelas coincidentes:

Na figura acima, as retas \(r\) e \(s\) são paralelas distintas, enquanto as retas \(r\) e \(t\) são paralelas coincidentes. 

Já na geometria analítica, o nosso plano está “fixado”: trabalhamos com os objetos geométricos no plano cartesiano, então já supomos que todas as retas aqui estudadas são coplanares entre si.

Uma reta \(r\) pode ser escrita através da seguinte equação

$$r\colon y=mx+n$$

onde \(m\) e \(n\) são, respectivamente, seus coeficientes angular e linear. O coeficiente angular nos dá a inclinação da reta \(r\) e, o coeficiente linear, onde ela corta o eixo \(y\). 

Claramente, duas retas paralelas têm a mesma inclinação. Deste modo, na geometria analítica, duas retas serão paralelas se elas possuírem o mesmo coeficiente angular. Se os seus coeficientes lineares forem diferentes, serão paralelas distintas, caso contrário, serão paralelas coincidentes.

Por exemplo, as retas

$$r\colon y=2x+3\quad s\colon y=2x-5$$

são paralelas distintas pois

$$m_{r}=m_{s}=2$$

e

$$n_{r}=3\neq-5=n_{s}$$

Já as retas

$$u\colon y=-3x+1\quad v\colon y=-3x+1$$

são paralelas coincidentes visto que

$$m_{u}=m_{v}=-3\quad n_{u}=n_{v}=1$$

Porém, as retas de equações

$$t\colon y=5x-6\quad w\colon y=7x+1$$

não são paralelas uma vez que

$$m_{t}=5\neq7=m_{w}$$