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Índice
Introdução
Sequência de Fibonacci
Foi Leonardo de Pisa, mais conhecido como Fibonacci, que, ao estudar o crescimento da população de coelhos descreveu a seguinte sequência de números, conhecida como Sequência de Fibonacci:
$$1,1,2,3,5,8,13,21,34,\ldots$$
Nela, cada termo, a partir do 3º, é igual a soma dos dois anteriores.
Começamos pelo número 1 que se repete 2 vezes:
$$1, 1$$
Assim, o próximo termo será:
$$1+1=2$$
E, então, a sequência fica:
$$1,1,2$$
De modo análogo, o termo que sucede o número 2, é a soma dos dois termos anteriores:
$$1+2=3$$
Ou seja, a sequência agora se torna:
$$1,1,2,3$$
E, como:
$$2+3=5$$
O próximo termo da sequência será 5:
$$1,1,2,3,5$$
De modo similar, construímos toda a sequência, isto é, o próximo termo será 8, pois seus dois antecessores são 3 e 5 cuja, soma é igual a 8:
$$1,1,2,3,5,8$$
Logo em seguida temos o número 13, pois 5+8=13:
$$1,1,2,3,5,8,13$$
E assim por diante.
Matematicamente, temos que um termo \(a_{n}\), para \(n\geq3\), da Sequência de Fibonacci, é dado pela seguinte lei:
$$a_{n}=a_{n-1}+a_{n-2}$$
Principais conclusões
- Sequência de Fibonacci, descrita por Leonardo de Pisa ao estudar coelhos, é a sucessão 1,1,2,3,5,8,... em que cada termo, a partir do 3º, é obtido somando-se os dois termos imediatamente anteriores, formando uma regra recursiva simples e repetitiva.
- O mecanismo é recursivo: define-se os primeiros termos (1,1) e aplica-se a relação a_n = a_{n-1} + a_{n-2} para n≥3; assim gera-se cada novo termo pela soma dos dois anteriores, podendo construir valores e figuras geométricas associadas de modo iterativo.
- Contexto histórico e científico: Fibonacci (Leonardo de Pisa) usou a sequência para modelar o crescimento idealizado de uma população de coelhos; a sequência também serve como base para construir o retângulo de ouro e a Espiral de Fibonacci, ligando matemática e forma.
- Em questões do ENEM é comum confundir índice inicial ou a aplicação da recorrência; a sequência integra temas interdisciplinares como progressões, geometria (retângulo de ouro, espiral) e biologia (modelos de crescimento), exigindo leitura atenta do enunciado.
- Relevância prática: a recursividade simples permite modelar padrões de crescimento e construir proporções geométricas usadas em design e arte; a representação por quadrados justapostos leva à espiral que ilustra conexões entre matemática, estética e padrões naturais.
Retângulo de ouro
Com os valores dos termos da Sequência de Fibonacci, podemos construir o chamado retângulo de ouro, o qual é formado por quadrados justapostos com lados de medidas iguais aos termos da sequência:
Desenhando arcos dentro deste retângulo, formamos a Espiral de Fibonacci:
Exercício de fixação
Exercícios sobre Sequência de Fibonacci para vestibular
Quero Bolsa
A sequência de Fibonacci recebe este nome em homenagem ao matemático
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