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Matemática

Sistema de Equação

Marcus Vinicius
Publicado por Marcus Vinicius
Última atualização: 14/11/2018

Introdução

Um sistema de equações consiste em um conjunto de duas ou mais equações, geralmente em duas ou mais incógnitas.

O sistema a seguir é um de duas equações em duas variáveis, no caso, \( x\) e \( y\):

$$\left\{\begin{array}{l}2x+3y=7\\7x-3y=11$$\end{array}\right.

Resolver um sistema significa encontrar os valores das incógnitas que satisfazem todas as equações ao mesmo tempo.

No sistema anterior, para \( x=2\) e \( y=1\), iremos ter, na primeira equação:

$$ 2\cdot2+3\cdot1=4+3=7$$

E, na segunda equação:

$$ 7\cdot2-3\cdot1=14-3=11$$

Ou seja, tais valores satisfizeram ambas as equações. Portanto o par ordenado \( (2,1)\) é solução do sistema e escrevemos

$$ S=\{(2,1)\}$$

Um par ordenado é todo conjunto de dois números onde existe uma ordenação. No caso do exemplo acima o par \( (2,1)\) representa que o primeiro número é o valor de \( x\) e o segundo número, de \( y\) (sempre ordenamos na ordem alfabética).

Classificação de um sistema de equações

Há três modos de se classificar um sistema de equações conforme o número de soluções que encontramos:

  • Sistema possível e determinado: é quando encontramos uma única solução. Por exemplo, o sistema $$\left\{\begin{array}{l} 3x-y=5 \\ x+y=4\end{array}\right.$$ tem como única solução o par ordenado \(\left\(\frac{9}{4},\frac{7}{4}\right)\), logo ele é um sistema possível e determinado.
  • Sistema possível e indeterminado: é o sistema que possui infinitas soluções possíveis; O sistema $$\left\{\begin{array}{l} x+y=6 \\ 2x+2y=12 \end{array}\right.$$ possui infinitas soluções. De fato, \((1,5)\) e \((5,1)\) satisfazem ao sistema acima. Logo, ele é possível e indeterminado. Isso ocorre porque a equação de cima é semelhante à equação de baixo. Basta notar que todos os termos dela são todos multiplicados por 2 a partir da primeira.
  • Sistema impossível: é aquele que não é possível de se resolver, ou seja, não possui nenhuma solução. O sistema $$\left\{\begin{array}{l} x-3y=5 \\ x-3y=1 \end{array}\right.$$ é impossível, pois temos equações iguais porém dando resultados diferentes. Não existe nenhum par \((x,y)\) que torna isso possível.

Resolução de um sistema de equações

Existem vários métodos para se resolver um sistema de equações. Não existe o “melhor método”, mas sim aquele se adequa melhor ao tipo de sistema que estamos trabalhando.

Em geral, apresentamos dois métodos, que são o de adição e o de substituição.

A ideia de ambos é sempre tentar escrever uma equação com uma única variável e, então, ao resolvê-la, encontrar a solução de uma delas.


Exercícios

Exercício 1
(FEI)

O professor João tem R$ 275,00 em notas de R$ 5,00 e R$ 10,00; se o número total de cédulas é 40, a diferença entre o número de notas de R$ 5,00 e R$ 10,00 é:

Ilustração: Rapaz corpulento de camiseta, short e tênis acenando

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