Sistema de Equação

Um sistema de equações consiste em um conjunto de duas ou mais equações, geralmente em duas ou mais incógnitas.

O sistema a seguir é um de duas equações em duas variáveis, no caso, \( x\) e \( y\):

$$\left\{\begin{array}{l}2x+3y=7\\7x-3y=11$$\end{array}\right.

Resolver um sistema significa encontrar os valores das incógnitas que satisfazem todas as equações ao mesmo tempo.

No sistema anterior, para \( x=2\) e \( y=1\), iremos ter, na primeira equação:

$$ 2\cdot2+3\cdot1=4+3=7$$

E, na segunda equação:

$$ 7\cdot2-3\cdot1=14-3=11$$

Ou seja, tais valores satisfizeram ambas as equações. Portanto o par ordenado \( (2,1)\) é solução do sistema e escrevemos

$$ S=\{(2,1)\}$$

Um par ordenado é todo conjunto de dois números onde existe uma ordenação. No caso do exemplo acima o par \( (2,1)\) representa que o primeiro número é o valor de \( x\) e o segundo número, de \( y\) (sempre ordenamos na ordem alfabética).

Há três modos de se classificar um sistema de equações conforme o número de soluções que encontramos:

• Sistema possível e determinado: é quando encontramos uma única solução. Por exemplo, o sistema $$\left\{\begin{array}{l} 3x-y=5 \\ x+y=4\end{array}\right.$$ tem como única solução o par ordenado \(\left\(\frac{9}{4},\frac{7}{4}\right)\), logo ele é um sistema possível e determinado.
• Sistema possível e indeterminado: é o sistema que possui infinitas soluções possíveis; O sistema $$\left\{\begin{array}{l} x+y=6 \\ 2x+2y=12 \end{array}\right.$$ possui infinitas soluções. De fato, \((1,5)\) e \((5,1)\) satisfazem ao sistema acima. Logo, ele é possível e indeterminado. Isso ocorre porque a equação de cima é semelhante à equação de baixo. Basta notar que todos os termos dela são todos multiplicados por 2 a partir da primeira.
• Sistema impossível: é aquele que não é possível de se resolver, ou seja, não possui nenhuma solução. O sistema $$\left\{\begin{array}{l} x-3y=5 \\ x-3y=1 \end{array}\right.$$ é impossível, pois temos equações iguais porém dando resultados diferentes. Não existe nenhum par \((x,y)\) que torna isso possível.

Existem vários métodos para se resolver um sistema de equações. Não existe o “melhor método”, mas sim aquele se adequa melhor ao tipo de sistema que estamos trabalhando.

Em geral, apresentamos dois métodos, que são o de adição e o de substituição.

A ideia de ambos é sempre tentar escrever uma equação com uma única variável e, então, ao resolvê-la, encontrar a solução de uma delas.