Sistema de inequações

Um sistema de inequações, ou um grupo de inequações simultâneas, é um conjunto de inequações, de modo que a solução final deve satisfazer todas as desigualdades ao mesmo tempo.

O processo de resolução consiste basicamente de dois passos: resolver cada inequação separadamente e, ao final, tomar como solução do sistema, a intersecção das soluções encontradas em cada desigualdade.

Por exemplo, tomemos o sistema:

$$\left\{\begin{array}{l} 2x+1\geq3 \\ x+4<8 \end{array}\right.$$

Ao resolver a seguinte inequação:

$$2x+1\geq3\Rightarrow2x\geq2\Rightarrow x\geq1$$

Encontramos como solução o conjunto:

$$S_{1}=\{x\in\mathbb{R}\mid x\geq1\}$$

De modo similar, resolvendo-se a inequação:

$$x+4<8\Rightarrow x<4$$

O conjunto solução dela será:

$$S_{2}=\{x\in\mathbb{R}\mid x<4\}$$

A fim de, então, obter a intersecção entre \(S_{1}\) e \(S_{2}\), fazemos uso do diagrama abaixo:

Portanto, o conjunto solução do sistema será:

$$S=\{x\in\mathbb{R}\mid1\leq x<4\}$$

Para se resolver, por exemplo, o sistema:

$$x+3<2x+4<5-x$$

Podemos separar em duas inequações:

$$\left\{\begin{array}{l}x+3<2x+4 \\ 2x+4<5-x \end{array}\right.$$

E, então, seguir como feito anteriormente. A inequação:

$$x+3<2x+4$$

Tem como solução, o conjunto:

$$S_{1}=\{x\in\mathbb{R}\mid x>-1\}$$

Enquanto que:

$$2x+4<5-x$$

Tem como solução, o conjunto:

$$S_{2}=\{x\in\mathbb{R}\mid x<1/3\}$$

Logo, pela intersecção acima, a solução final será:

$$S=\{x\in\mathbb{R}\mid-1<x<1/3\}$$