Um sistema de inequações, ou um grupo de inequações simultâneas, é um conjunto de inequações, de modo que a solução final deve satisfazer todas as desigualdades ao mesmo tempo.
O processo de resolução consiste basicamente de dois passos: resolver cada inequação separadamente e, ao final, tomar como solução do sistema, a intersecção das soluções encontradas em cada desigualdade.
Por exemplo, tomemos o sistema:
$$\left\{\begin{array}{l} 2x+1\geq3 \\ x+4<8 \end{array}\right.$$
Ao resolver a seguinte inequação:
$$2x+1\geq3\Rightarrow2x\geq2\Rightarrow x\geq1$$
Encontramos como solução o conjunto:
$$S_{1}=\{x\in\mathbb{R}\mid x\geq1\}$$
De modo similar, resolvendo-se a inequação:
$$x+4<8\Rightarrow x<4$$
O conjunto solução dela será:
$$S_{2}=\{x\in\mathbb{R}\mid x<4\}$$
A fim de, então, obter a intersecção entre \(S_{1}\) e \(S_{2}\), fazemos uso do diagrama abaixo:
Portanto, o conjunto solução do sistema será:
$$S=\{x\in\mathbb{R}\mid1\leq x<4\}$$
Para se resolver, por exemplo, o sistema:
$$x+3<2x+4<5-x$$
Podemos separar em duas inequações:
$$\left\{\begin{array}{l}x+3<2x+4 \\ 2x+4<5-x \end{array}\right.$$
E, então, seguir como feito anteriormente. A inequação:
$$x+3<2x+4$$
Tem como solução, o conjunto:
$$S_{1}=\{x\in\mathbb{R}\mid x>-1\}$$
Enquanto que:
$$2x+4<5-x$$
Tem como solução, o conjunto:
$$S_{2}=\{x\in\mathbb{R}\mid x<1/3\}$$
Logo, pela intersecção acima, a solução final será:
$$S=\{x\in\mathbb{R}\mid-1<x<1/3\}$$