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Índice
Introdução
A soma de dois termos elevados ao cubo \(a^{3}+b^{3}\) pode ser fatorada da seguinte maneira:
$$a^{3}+b^{3}=(a+b)\cdot(a^{2}-ab+b^{2})$$
Por exemplo, tomando-se a expressão $$x^{3}+8$$, ao extrair a raiz cúbica de cada termo, obtemos:
- $$\sqrt[3]{x^{3}}=x$$
- $$\sqrt[3]{8}=2$$
Deste modo, a sua forma fatorada será:
$$x^{3}+8=(x+2)\cdot(x^{2}-x\cdot2+2^{2})$$
Ou seja:
$$x^{3}+8=(x+2)\cdot(x^{2}-2x+4)$$
E, de modo análogo, a diferença de dois termos elevados ao cubo \(a^{3}-b^{3}\) tem a seguinte fatoração:
$$a^{3}-b^{3}=(a+b)\cdot(a^{2}+ab+b^{2})$$
Assim, para se fatorar $$27-125t^{3}$$, basta extrair as raízes cúbicas de cada termo:
- $$\sqrt[3]{27}=3$$
- $$\sqrt[3]{125t^{3}}=5t$$
E colocar na fórmula dada anteriormente:
$$27-125t^{3}=(3-5t)\cdot(3^{2}+3\cdot5t+(5t)^{2})$$
$$\Rightarrow27-125t^{3}=(3-5t)\cdot(9+15t+25t^{2})$$
Principais conclusões
- Soma e diferença de cubos são identidades algébricas fundamentais: a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 ab + b^2) e a^3 b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2), que expressam potências cúbicas como produto de polinômios de grau menor.
- Funcionam extraindo a raiz cúbica de cada termo para identificar a e b, formando o fator linear (a±b) e o quadrático a^2 ∓ ab + b^2; o padrão de sinais no quadrático depende do sinal do binômio, garantindo equivalência algébrica.
- Inserem-se no estudo de polinômios e identidades algébricas, servindo para simplificar expressões, localizar raízes e estruturar demonstrações; aparecem em manipulações simbólicas antes de métodos numéricos ou fatoração completa.
- No ENEM, erros frequentes são inverter sinais, confundir com soma/diferença de quadrados ou não extrair corretamente raízes cúbicas; a prova explora fatoração para resolver equações, interpretar gráficos e conectar com física, química e economia.
- Dominar soma e diferença de cubos agiliza resolução de equações, simplifica frações algébricas e identifica fatores irreduzíveis, sendo útil em provas, modelagem matemática e verificação rápida de identidades em problemas aplicados.
Fórmulas
Exercício de fixação
Exercícios sobre Soma/diferença de cubos para vestibular
PUC
Sendo \(x^{3}+1=(x+1)(x^{2}+ax+b)\) para todo \(x\) real, os valores de \(a\) e \(b\) são, respectivamente:
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