Soma/diferença de cubos

A soma de dois termos elevados ao cubo \(a^{3}+b^{3}\) pode ser fatorada da seguinte maneira:

$$a^{3}+b^{3}=(a+b)\cdot(a^{2}-ab+b^{2})$$

Por exemplo, tomando-se a expressão $$x^{3}+8$$, ao extrair a raiz cúbica de cada termo, obtemos:

• $$\sqrt[3]{x^{3}}=x$$
• $$\sqrt[3]{8}=2$$

Deste modo, a sua forma fatorada será:

$$x^{3}+8=(x+2)\cdot(x^{2}-x\cdot2+2^{2})$$

Ou seja:

$$x^{3}+8=(x+2)\cdot(x^{2}-2x+4)$$

E, de modo análogo, a diferença de dois termos elevados ao cubo \(a^{3}-b^{3}\) tem a seguinte fatoração:

$$a^{3}-b^{3}=(a+b)\cdot(a^{2}+ab+b^{2})$$

Assim, para se fatorar $$27-125t^{3}$$, basta extrair as raízes cúbicas de cada termo:

• $$\sqrt[3]{27}=3$$
• $$\sqrt[3]{125t^{3}}=5t$$

E colocar na fórmula dada anteriormente:

$$27-125t^{3}=(3-5t)\cdot(3^{2}+3\cdot5t+(5t)^{2})$$

$$\Rightarrow27-125t^{3}=(3-5t)\cdot(9+15t+25t^{2})$$