Triângulo Retângulo

Um triângulo retângulo é aquele cujo um dos ângulos internos é um ângulo reto, ou seja, sua medida vale 90º.

Dizer que um triângulo \( ABC\) é retângulo em \( A\) significa que o ângulo reto se encontra no vértice \( A\).

O lado de maior medida, ou seja, aquele oposto ao ângulo reto, é chamado de hipotenusa do triângulo retângulo enquanto que os outros dois são os seus catetos.

Além disso, consideremos agora no triângulo \( ABC\) abaixo, a altura \( \bar{AH}\) relativa à hipotenusa \( \bar{BC}\):

Temos então os seguintes elementos:

$$ \left\{\begin{array}{ll} 

\bar{BC} & \text{hipotenusa} \\

\bar{AB},\bar{AC} & \text{cateto} \\

\bar{AH} & \text{altura relativa à hipotenusa} \\

\bar{CH} & \text{projeção do cateto}\;\bar{AC} \\

\bar{BH} & \text{projeção do cateto}\;\bar{AB} 

\end{array}\right.$$

Observe que, partindo da figura acima, temos os seguintes três triângulos retângulos:

Claramente, os pares de ângulos agudos de cada triângulo são iguais entre si devido à forma como foram construídos e ao fato de que a soma dos ângulos internos de um triângulo vale sempre 180º.

Com isso, pelo caso AAA, temos que os triângulos \( ABC,HBA\) e \( HAC\) são semelhantes entre si.

Abaixo, consideremos as seguintes medidas dos lados dos triângulos:

Consideremos então inicialmente os triângulos \( ABC\) e \( HBA\). Da semelhança de triângulos concluímos que:

$$ \frac{a}{c}=\frac{b}{h}\Rightarrow ah=bc$$

e

$$ \frac{a}{c}=\frac{c}{m}\Rightarrow c^{2}=am$$

Da semelhança entre os triângulos \( ABC\) e \( HAC\), temos:

$$ \frac{a}{b}=\frac{b}{n}\Rightarrow b^{2}=an$$

E, por fim, sendo os triângulos \( HBA\) e \( HAC\) semelhantes entre si, segue que:

$$ \frac{h}{n}=\frac{m}{h}\Rightarrow h^{2}=mn$$

Às quatro expressões acima, damos o nome de relações métricas no triângulo retângulo:

• O produto da hipotenusa com a altura a ela é igual ao produto entre os catetos:

    $$ ah=bc$$

• O quadrado de um cateto é igual ao produto entre a hipotenusa e a sua respectiva projeção:

$$ b^{2}=an\quad c^{2}=am$$

• O quadrado da altura relativa à hipotenusa vale o produto das projeções de cada cateto:

$$ h^{2}=mn$$

Claramente, temos que

$$ a=m+n$$

Usando este fato junto ao segundo item das relações exibidas acima, conseguimos demonstrar o chamado Teorema de Pitágoras o qual diz que o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos:

$$ a^{2}=b^{2}+c^{2}$$

Consequências do Teorema de Pitágoras

Diagonal de um quadrado

Sabemos que um quadrado é um quadrilátero cujos lados têm a mesma medida e os ângulos internos são retos. Além disso, suas diagonais são congruentes entre si.

Tomando o quadrado \( ABCD\) a seguir, com lado de medida \( \ell\) e diagonal de medida \( d\), obtemos um triângulo \( ABD\) retângulo em \( A\).

Aplicando o Teorema de Pitágoras em tal triângulo, obtemos uma relação que exprime a medida da diagonal de um quadrado com a medida do lado desse quadrado:

$$ d=\ell\sqrt{2}$$

Altura de um triângulo equilátero

Se considerarmos \( \bar{AH}\) a altura relativa ao lado \( \bar{BC}\) de um triângulo equilátero \( ABC\), então temos que \( \bar{AH}\) e \( \bar{BC}\) são perpendiculares entre si.

Além disso, supondo que a medida do lado do triângulo valha \( \ell\), temos que \( BH=\frac{\ell}{2}\) pois, por se tratar de um triângulo equilátero, \( \bar{AH}\) também é mediana relativa ao lado \( \bar{BC}\), ou seja, \( H\) é ponto médio do lado \( \bar{BC}\).

Com isso, obtemos o triângulo \( AHB\) retângulo em \( H\) com as medidas indicadas na figura abaixo:

E aplicando o Teorema de Pitágoras em tal triângulo, obtemos uma expressão que relaciona a medida da altura de um triângulo equilátero com a medida de seu lado:

$$ h=\frac{\ell\sqrt{3}}{2}$$

É evidente que existem outras consequências diretas do Teorema de Pitágoras. Mas a princípio, estas são as mais utilizadas e importantes dentro da geometria plana.