Triângulos pitagóricos

Sabemos que se \(a,b\) e \(c\) forem, respectivamente, as medidas dos catetos e da hipotenusa de um triângulo retângulo, então é válido o Teorema de Pitágoras:

$$a^{2}+b^{2}=c^{2}$$

Triângulos retângulos são chamados de triângulos pitagóricos quando as medidas de seus lados forem números inteiros.

Por exemplo, podemos tomar os triângulos com as seguintes medidas:

• 3, 4 e 5, pois \(3^{2}+4^{2}=5^{2}\)
• 6, 8 e 10, pois \(6^{2}+8^{2}=10^{2}\)
• 5, 12 e 13, pois \(5^{2}+12^{2}=13^{2}\)

Tal trio de números também podem ser denominados como terno pitagóricos. 

Para se obter um triângulo pitagórico, basta tomar quaisquer valores inteiros \(a\) e \(b\), e supondo \(a>b\), de modo que os catetos terão medidas

$$2ab$$

e

$$a^{2}-b^{2}$$

com a hipotenusa medindo

$$a^{2}+b^{2}$$

Por exemplo, sendo \(a=5\) e \(b=3\), então 

$$2ab=2\cdot5\cdot3=30$$

e

$$a^{2}-b^{2}=5^{2}-3^{2}=25-9=16$$

e ainda

$$a^{2}+b^{2}=5^{2}+3^{2}=25+9=34$$

ou seja, temos um triângulo cujos catetos medem 30 e 16 e a hipotenusa é igual a 34; evidentemente este triângulo é pitagórico visto que

$$30^{2}+16^{2}=34^{2}$$

A Matemática do Ensino médio, Elon Lages Lima - SBM