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Índice
Introdução
Sabemos que se \(a,b\) e \(c\) forem, respectivamente, as medidas dos catetos e da hipotenusa de um triângulo retângulo, então é válido o Teorema de Pitágoras:
$$a^{2}+b^{2}=c^{2}$$
Triângulos retângulos são chamados de triângulos pitagóricos quando as medidas de seus lados forem números inteiros.
Por exemplo, podemos tomar os triângulos com as seguintes medidas:
- 3, 4 e 5, pois \(3^{2}+4^{2}=5^{2}\)
- 6, 8 e 10, pois \(6^{2}+8^{2}=10^{2}\)
- 5, 12 e 13, pois \(5^{2}+12^{2}=13^{2}\)
Tal trio de números também podem ser denominados como terno pitagóricos.
Principais conclusões
- Triângulos pitagóricos são triângulos retângulos cujos três lados são números inteiros; para catetos a e b e hipotenusa c vale a relação a^2 + b^2 = c^2, formando um terno pitagórico inteiro que satisfaz o Teorema de Pitágoras.
- Para gerar ternos pitagóricos escolha inteiros a>b; os catetos podem ser 2ab e a^2−b^2 e a hipotenusa a^2+b^2, garantindo algebraicamente que (2ab)^2+(a^2−b^2)^2=(a^2+b^2)^2 e produzindo exemplos e múltiplos.
- O conceito decorre do Teorema de Pitágoras estudado no ensino médio; exemplos clássicos como (3,4,5) e (5,12,13) e seus múltiplos ilustram a conexão entre geometria e aritmética, referenciada em obras como "A Matemática do Ensino médio" de Elon Lages Lima.
- Em contextos de prova como o ENEM costuma-se pedir identificação, geração ou verificação de ternos pitagóricos; erros comuns incluem não ordenar a>b, confundir catetos com hipotenusa ou deixar de simplificar/retirar fator comum que gera múltiplos.
- Ternos pitagóricos são relevantes didaticamente e em aplicações práticas: servem para validar medidas inteiras, modelar distâncias e construir exercícios; a fórmula de geração facilita criar exemplos, estudar propriedades e conectar geometria à teoria dos números.
Obtenção de triângulos pitagóricos
Para se obter um triângulo pitagórico, basta tomar quaisquer valores inteiros \(a\) e \(b\), e supondo \(a>b\), de modo que os catetos terão medidas
$$2ab$$
e
$$a^{2}-b^{2}$$
com a hipotenusa medindo
$$a^{2}+b^{2}$$
Por exemplo, sendo \(a=5\) e \(b=3\), então
$$2ab=2\cdot5\cdot3=30$$
e
$$a^{2}-b^{2}=5^{2}-3^{2}=25-9=16$$
e ainda
$$a^{2}+b^{2}=5^{2}+3^{2}=25+9=34$$
ou seja, temos um triângulo cujos catetos medem 30 e 16 e a hipotenusa é igual a 34; evidentemente este triângulo é pitagórico visto que
$$30^{2}+16^{2}=34^{2}$$
Referências
A Matemática do Ensino médio, Elon Lages Lima - SBM
Revisado por: Ferdinando Caíque Genghini Dantas Lobo
Formado em Matemática pela Universidade Estadual de Campinas (Unicamp), com mestrado na área pela Profmat - Unicamp. Atua como professor de Matemática desde 2012, nos colégios Asther (Campinas-SP) e Villa Lobos (Amparo-SP).
Exercício de fixação
Exercícios sobre Triângulos pitagóricos para vestibular
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Um triângulo pitagórico é também um triângulo
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