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Índice
Introdução
Considere três semi-retas não coplanares com mesma origem em um ponto \(V\) do espaço.
Note que podemos considerar a formação de três semi-espaços:
- Semi-espaço I: formado com base em \(BC\) e que contém a semi-reta \(\vec{VA}\);
- Semi-espaço II: formado com base em \(AC\) e que contém a semi-reta \(\vec{VB}\);
- Semi-espaço III: formado com base em \(AB\) e que contém a semi-reta \(\vec{VC}\).
Tomando-se a intersecção entre estes três semiplanos, isto é, \(I\cap II\cap III\) obtemos uma região no espaço que denominamos de triedro \(VABC\). Podemos nomeá-lo ainda de ângulo triédrico.
No triedro acima, temos os seguintes elementos:
- O ponto \(V\) é seu vértice;
- As semi-retas \(\vec{VA},\vec{VB},\vec{VC}\) são suas arestas;
- Os ângulos \(A\hat{V}B,A\hat{V}C,B\hat{V}C\) são suas faces.
Principais conclusões
- Tríedro ou ângulo triédrico é a região do espaço obtida pela interseção de três semi‑espaços com mesma origem V gerados por três semirretas não coplanares VA, VB e VC; vértice V, arestas as semirretas e faces os ângulos entre pares delas.
- Forma‑se escolhendo três semiplanos baseados em pares de pontos (ex.: BC, AC, AB) que contenham as semirretas correspondentes; a interseção I∩II∩III determina o triedro, cujas faces são ângulos planos F1,F2,F3 entre as arestas.
- No contexto científico, o triedro representa um ângulo sólido e relaciona geometria plana e espacial: suas faces obedecem desigualdades F1<F2+F3 (e permutações) e a soma F1+F2+F3 é menor que 360°, conectando conceitos de ângulo e superfície.
- Para o ENEM, atenção aos erros típicos: distinguir faces (ângulos entre arestas) de diedros (ângulos entre planos); lembrar que existem três diedros D1,D2,D3 e que sua soma satisfaz 180°<D1+D2+D3<540°, evitando aplicar regras de plano indevidamente.
- Aplicação prática: triedros ajudam a resolver problemas de orientação e posição no espaço, cálculo de ângulos sólidos e diedros em modelagem 3D, arquitetura e engenharia, além de aprimorar raciocínio espacial exigido em provas e exercícios.
Faces de um triedro
Se \(F_{1},F_{2},F_{3}\) forem as medidas das faces de um triedro, então temos as seguintes relações:
$$F_{1}<F_{2}+F_{3}$$
$$F_{2}<F_{1}+F_{3}$$
$$F_{3}<F_{1}+F_{2}$$
$$F_{1}+F_{2}+F_{3}<360º$$
Diedros de um triedro
É fácil ver que existem três diedros em um triedro. Chamando de \(D_{1},D_{2},D_{3}\) a medida de cada um deles, é possível mostrar que
$$180º<D_{1}+D_{2}+D_{3}<540º$$
Exercício de fixação
Exercícios sobre Triedros para vestibular
Quero Bolsa
Dois diedros de um triedro medem respectivamente 60º e 110º. Então um possível valor para o terceiro diedro é
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