Trigonometria

A trigonometria é a área da matemática que estuda as relações existentes entre os ângulos de um triângulo e as medidas dos seus lados.

Há diversas aplicações nas mais variadas áreas. Na engenharia, física e, até mesmo, na geografia, utiliza-se a trigonometria.

Na trigonometria do triângulo retângulo, definimos as funções trigonométricas em relação a um ângulo agudo (cuja medida é menor que 90º).

São elas o seno, o cosseno e a tangente, definidas da seguinte maneira em relação a um ângulo \(\theta\):

$$\sin\theta=\frac{\text{cateto oposto a}\;\theta}{\text{hipotenusa}}$$

$$\cos\theta=\frac{\text{cateto adjacente a}\;\theta}{\text{hipotenusa}}$$

$$\tan\theta=\frac{\text{cateto oposto a}\;\theta}{\text{cateto adjacente a}\;\theta}$$

Além disso, existem os chamados ângulos notáveis, cujas medidas são de 30º, 45º e 60º, os quais devemos saber os valores de suas funções trigonométricas. A tabela abaixo nos dá tais medidas:

Por exemplo, no triângulo a seguir, temos que, em relação ao ângulo de 30º, a medida \(x\) corresponde ao lado \(\bar{AB}\), o qual é cateto oposto de 30º. Além disso, a sua hipotenusa vale 8.

Como estamos diante de um cateto oposto de um ângulo e da sua hipotenusa, utilizamos a função seno:

$$\sin30º=\frac{x}{8}\Rightarrow\frac{1}{2}=\frac{x}{8}\Rightarrow x=4$$

O ciclo trigonométrico é uma aplicação que se constrói a partir de uma circunferência com centro na origem do plano cartesiano e de raio 1.

Note que a circunferência é dividida em quatro partes. Cada parte é chamada de quadrante.

Através dele, podemos determinar as funções trigonométricas de ângulos maiores (ou iguais) a 90º. 

Na tabela a seguir, temos o seno, o cosseno e a tangente de alguns outros arcos que obtemos a partir do ciclo trigonométrico.

Redução ao 1º quadrante

A chamada redução ao 1º quadrante é um processo que consiste em determinar o valor das funções trigonométricas de outros ângulos que estão associados aos arcos de 30º, 45º e 60º.

Basicamente, os valores do seno, do cosseno e da tangente de tais ângulos são iguais, exceto o de sinal, daqueles dos arcos notáveis (30º, 45º, 60º). Isto significa que: eles têm o mesmo valor numérico, podendo apenas mudar o sinal (ser positivo ou negativo).

Para isso, temos inicialmente o seguinte quadro de sinais das funções da trigonometria:

Então, por exemplo, como 120º é um arco correspondente ao de 60º, então o valor dos seus cossenos, numericamente, é o mesmo. Mas como 120º está no segundo quadrante, de acordo com o quadro de sinais acima, o cosseno tem valor negativo, portanto, $$\cos120º=-\frac{1}{2}$$

Do mesmo modo, temos que o valor da tangente de 225º é numericamente igual ao valor da tangente de 45º, pois tais ângulos são correspondentes entre si. Sendo 225º um arco do terceiro quadrante, então o seu sinal é positivo, deste modo

$$\tan225º=+1$$

Existem dois principais resultados que envolvem trigonometria em triângulos quaisquer, ou seja, não necessariamente triângulos retângulos. São as leis dos senos e dos cossenos.

Lei dos senos

A lei dos senos estabelece uma relação entre as medidas dos lados de um triângulo com os senos dos seus respectivos ângulos opostos, além do raio \(R\) da circunferência circunscrita a este triângulo.

$$\frac{a}{\sin\hat{A}}=\frac{b}{\sin\hat{B}}=\frac{c}{\sin\hat{C}}=2R$$

Lei dos cossenos

E a lei dos cossenos trabalha com as três medidas dos lados de um triângulo e o cosseno de um dos ângulos.

Podemos trabalhar com uma das três seguintes fórmulas, dependendo do contexto do exercício:

$$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2\cdot b\cdot c\cdot\cos\hat{A}$$

$$b^{2}=a^{2}+c^{2}-2\cdot a\cdot c\cdot\cos\hat{B}$$

$$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2\cdot a\cdot b\cdot\cos\hat{C}$$

Revisado por: Ferdinando Caíque Genghini Dantas Lobo

Formado em Matemática pela Universidade Estadual de Campinas (Unicamp), com mestrado na área pela Profmat - Unicamp. Atua como professor de Matemática desde 2012, nos colégios Asther (Campinas-SP) e Villa Lobos (Amparo-SP).