Info Icon Ajuda Help Icon Ajuda
Matemática

Trigonometria

Marcus Vinicius
Publicado por Marcus Vinicius
Última atualização: 28/3/2019

Introdução

A trigonometria é a área da matemática que estuda as relações existentes entre os ângulos de um triângulo e as medidas dos seus lados.

Há diversas aplicações nas mais variadas áreas. Na engenharia, física e, até mesmo, na geografia, utiliza-se a trigonometria.

Trigonometria no triângulo retângulo

Na trigonometria do triângulo retângulo, definimos as funções trigonométricas em relação a um ângulo agudo (cuja medida é menor que 90º).

São elas o seno, o cosseno e a tangente, definidas da seguinte maneira em relação a um ângulo \(\theta\):

$$\sin\theta=\frac{\text{cateto oposto a}\;\theta}{\text{hipotenusa}}$$

$$\cos\theta=\frac{\text{cateto adjacente a}\;\theta}{\text{hipotenusa}}$$

$$\tan\theta=\frac{\text{cateto oposto a}\;\theta}{\text{cateto adjacente a}\;\theta}$$

Além disso, existem os chamados ângulos notáveis, cujas medidas são de 30º, 45º e 60º, os quais devemos saber os valores de suas funções trigonométricas. A tabela abaixo nos dá tais medidas:

Por exemplo, no triângulo a seguir, temos que, em relação ao ângulo de 30º, a medida \(x\) corresponde ao lado \(\bar{AB}\), o qual é cateto oposto de 30º. Além disso, a sua hipotenusa vale 8.

Como estamos diante de um cateto oposto de um ângulo e da sua hipotenusa, utilizamos a função seno:

$$\sin30º=\frac{x}{8}\Rightarrow\frac{1}{2}=\frac{x}{8}\Rightarrow x=4$$

Ciclo trigonométrico

ciclo trigonométrico é uma aplicação que se constrói a partir de uma circunferência com centro na origem do plano cartesiano e de raio 1.

Note que a circunferência é dividida em quatro partes. Cada parte é chamada de quadrante.

Através dele, podemos determinar as funções trigonométricas de ângulos maiores (ou iguais) a 90º. 

Na tabela a seguir, temos o seno, o cosseno e a tangente de alguns outros arcos que obtemos a partir do ciclo trigonométrico.


90º180º270º360º
sen010           -10
cos10-101
tan0         não existe  0não existe      0

Redução ao 1º quadrante

A chamada redução ao 1º quadrante é um processo que consiste em determinar o valor das funções trigonométricas de outros ângulos que estão associados aos arcos de 30º, 45º e 60º.

Basicamente, os valores do seno, do cosseno e da tangente de tais ângulos são iguais, exceto o de sinal, daqueles dos arcos notáveis (30º, 45º, 60º). Isto significa que: eles têm o mesmo valor numérico, podendo apenas mudar o sinal (ser positivo ou negativo).

Para isso, temos inicialmente o seguinte quadro de sinais das funções da trigonometria:

Então, por exemplo, como 120º é um arco correspondente ao de 60º, então o valor dos seus cossenos, numericamente, é o mesmo. Mas como 120º está no segundo quadrante, de acordo com o quadro de sinais acima, o cosseno tem valor negativo, portanto, $$\cos120º=-\frac{1}{2}$$

Do mesmo modo, temos que o valor da tangente de 225º é numericamente igual ao valor da tangente de 45º, pois tais ângulos são correspondentes entre si. Sendo 225º um arco do terceiro quadrante, então o seu sinal é positivo, deste modo

$$\tan225º=+1$$

Trigonometria em triângulos quaisquer

Existem dois principais resultados que envolvem trigonometria em triângulos quaisquer, ou seja, não necessariamente triângulos retângulos. São as leis dos senos e dos cossenos.

Lei dos senos

lei dos senos estabelece uma relação entre as medidas dos lados de um triângulo com os senos dos seus respectivos ângulos opostos, além do raio \(R\) da circunferência circunscrita a este triângulo.

$$\frac{a}{\sin\hat{A}}=\frac{b}{\sin\hat{B}}=\frac{c}{\sin\hat{C}}=2R$$

Lei dos cossenos

E a lei dos cossenos trabalha com as três medidas dos lados de um triângulo e o cosseno de um dos ângulos.

Podemos trabalhar com uma das três seguintes fórmulas, dependendo do contexto do exercício:

$$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2\cdot b\cdot c\cdot\cos\hat{A}$$

$$b^{2}=a^{2}+c^{2}-2\cdot a\cdot c\cdot\cos\hat{B}$$

$$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2\cdot a\cdot b\cdot\cos\hat{C}$$


Exercícios

Exercício 1
(UFAM)

Se um cateto e a hipotenusa de um triângulo retângulo medem \(2a\) e \(4a\), respectivamente, então a tangente do ângulo oposto ao menor lado é:

Ilustração: Rapaz corpulento de camiseta, short e tênis acenando

Inscreva-se abaixo e receba novidades sobre o Enem, Sisu, Prouni e Fies:

Carregando...