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A trigonometria no triângulo retângulo é a área da matemática que trabalha a relação existente entre os ângulos agudos de um triângulo retângulo e a medida dos seus lados.
Consideremos, assim, o triângulo retângulo \(ABC\) abaixo, de modo que ele seja retângulo em \(A\).
Deste modo, sua hipotenusa é o lado \(\bar{BC}\) de medida \(a\), e seus catetos são os lados \(\bar{AB}\) e \(\bar{AC}\) com medidas \(b\) e \(c\), respectivamente.
Fixando-se o ângulo \(\alpha\) como acima, temos as razões trigonométricas de \(\alpha\), que são valores numéricos dados pelas divisões entre os catetos e a hipotenusa do triângulo.
O seno de \(\alpha\) é a razão entre o cateto oposto a \(\alpha\) e a hipotenusa.
$$\sin\alpha=\frac{AC}{BC}\Rightarrow\sin\alpha=\frac{b}{a}$$
O cosseno de \(\alpha\) é a razão entre o cateto adjacente a \(\alpha\) e a hipotenusa.
$$\cos\alpha=\frac{AB}{BC}\Rightarrow\cos\alpha=\frac{c}{a}$$
E a tangente de \(\alpha\) é a razão entre o cateto oposto a \(\alpha\) e o cateto adjacente a ele.
$$\tan\alpha=\frac{AC}{AB}\Rightarrow\tan\alpha=\frac{b}{c}$$
Por exemplo, considerando o triângulo abaixo, temos que:
$$\sin\alpha=\frac{3}{5},\quad\cos\alpha=\frac{4}{5},\quad\tan\alpha=\frac{3}{4}$$
Do mesmo modo, dado o triângulo retângulo a seguir, então:
$$\sin\theta=\frac{12}{13},\quad\cos\theta=\frac{5}{13},\quad\tan\theta=\frac{12}{5}$$
Um exemplo muito comum (e que mais costuma cair em vestibulares) é aquele em que o exercício nos dá a medida das razões trigonométricas e nos pede o valor de um dos lados do triângulo.
Consideremos assim, o triângulo abaixo, de modo que $$\sin\alpha=\frac{1}{3}$$.
Note que a hipotenusa mede 12, enquanto \(x\) é o cateto oposto a \(\alpha\). Pela trigonometria, temos que o seno de \(\alpha\) é a razão entre seu cateto oposto e a hipotenusa, ou seja:
$$\sin\alpha=\frac{x}{12}$$
Mas o exercício nos diz que o valor do seno de \(\alpha\) é \(1/3\). Portanto:
$$\frac{1}{3}=\frac{x}{12}$$
Multiplicando-se em cruz:
$$3\cdot x=1\cdot12\Rightarrow3x=12$$
E resolvendo-se a equação do 1º grau acima, obtemos:
$$x=\frac{12}{3}\Rightarrow x=4$$
Sobre uma rampa plana de 3,5m de comprimento e inclinação \(\alpha\), como mostra a figura, será construída uma escada com 7 degraus, todos de mesma altura.
Se \(\sin\alpha=\frac{4}{5}\), então a altura de cada degrau, em cm, é:
