Trigonometria no triângulo retângulo

A trigonometria no triângulo retângulo é a área da matemática que trabalha a relação existente entre os ângulos agudos de um triângulo retângulo e a medida dos seus lados.

Consideremos, assim, o triângulo retângulo \(ABC\) abaixo, de modo que ele seja retângulo em \(A\).

Deste modo, sua hipotenusa é o lado \(\bar{BC}\) de medida \(a\), e seus catetos são os lados \(\bar{AB}\) e \(\bar{AC}\) com medidas \(b\) e \(c\), respectivamente.

Fixando-se o ângulo \(\alpha\) como acima, temos as razões trigonométricas de \(\alpha\), que são valores numéricos dados pelas divisões entre os catetos e a hipotenusa do triângulo.

Seno

O seno de \(\alpha\) é a razão entre o cateto oposto a \(\alpha\) e a hipotenusa.

$$\sin\alpha=\frac{AC}{BC}\Rightarrow\sin\alpha=\frac{b}{a}$$

Cosseno

O cosseno de \(\alpha\) é a razão entre o cateto adjacente a \(\alpha\) e a hipotenusa.

$$\cos\alpha=\frac{AB}{BC}\Rightarrow\cos\alpha=\frac{c}{a}$$

Tangente

E a tangente de \(\alpha\) é a razão entre o cateto oposto a \(\alpha\) e o cateto adjacente a ele.

$$\tan\alpha=\frac{AC}{AB}\Rightarrow\tan\alpha=\frac{b}{c}$$

Por exemplo, considerando o triângulo abaixo, temos que:

$$\sin\alpha=\frac{3}{5},\quad\cos\alpha=\frac{4}{5},\quad\tan\alpha=\frac{3}{4}$$

Do mesmo modo, dado o triângulo retângulo a seguir, então:

$$\sin\theta=\frac{12}{13},\quad\cos\theta=\frac{5}{13},\quad\tan\theta=\frac{12}{5}$$

Um exemplo muito comum (e que mais costuma cair em vestibulares) é aquele em que o exercício nos dá a medida das razões trigonométricas e nos pede o valor de um dos lados do triângulo.

Consideremos assim, o triângulo abaixo, de modo que $$\sin\alpha=\frac{1}{3}$$.

Note que a hipotenusa mede 12, enquanto \(x\) é o cateto oposto a \(\alpha\). Pela trigonometria, temos que o seno de \(\alpha\) é a razão entre seu cateto oposto e a hipotenusa, ou seja:

$$\sin\alpha=\frac{x}{12}$$

Mas o exercício nos diz que o valor do seno de \(\alpha\) é \(1/3\). Portanto:

$$\frac{1}{3}=\frac{x}{12}$$

Multiplicando-se em cruz:

$$3\cdot x=1\cdot12\Rightarrow3x=12$$

E resolvendo-se a equação do 1º grau acima, obtemos:

$$x=\frac{12}{3}\Rightarrow x=4$$