Vetores

Para representar uma grandeza, podemos usar apenas números. É o caso da massa e do comprimento de uma mesa, por exemplo. Basta afirmar que sua massa é de 100kg e seu comprimento, de 1m. No entanto, nem sempre um número é suficiente: às vezes, é preciso saber a orientação de uma grandeza.

É o caso do deslocamento, que pode ser expresso por meio de uma flecha. Isso porque não basta saber quantos metros uma pessoa andou, mas a direção e o sentido em que ela se deslocou.

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Essa é uma aplicação de vetores, uma representação matemática que sempre apresentará três propriedades: módulo, direção e sentido (no caso, o módulo se refere à quantidade de metros andada). 

Essa maior riqueza de detalhes faz com que vetores sejam muito utilizados na Física.

Um vetor pode ser expresso por meio de uma flecha, como a abaixo, que liga um ponto A até um ponto B.

É possível ainda dizer que o ponto B resulta da adição do ponto A com o vetor. 

Suponha que essa flecha meça 3 unidades de medida. Podemos, então, representar esse vetor apenas expressando as suas três propriedades.

Módulo: 3
Direção: paralelo à reta AB
Sentido: de A para B

Pode-se verificar que o módulo se refere ao comprimento do vetor (distância de A até B, sempre positiva). A direção, por sua vez, se refere à reta a que o vetor é paralela. É necessário não confundir com o sentido, que indica apenas para onde o vetor aponta.

Confira um exemplo:

Determine as características do vetor que une os dois pontos

Para fazer isso, precisamos do módulo, da direção e do sentido do vetor. O módulo é obtido aplicando-se o Teorema de Pitágoras, e equivale ao valor da hipotenusa com catetos 6 e 8. A direção é paralela à reta AB, e o sentido é de B para A.

Módulo: 10

Direção: paralelo à reta AB

Sentido: de B para A

Note que as propriedades não definem a posição do vetor. Dessa forma, apesar de estarem em lugares distintos, os seguintes vetores são equivalentes, pois possuem o mesmo módulo (comprimento), direção (são paralelos entre si) e sentido (apontam para o mesmo local).

Vetores também podem ser opostos. Nesse caso, os módulos e as direções são os mesmos, mas os sentidos são contrários entre si.

Como vimos em Geometria Analítica – Introdução, a distância entre dois pontos P1(x1, y1) e P2(x2, y2) é dada pela seguinte fórmula, resultado de uma aplicação do teorema de Pitágoras:

Percebe-se que a distância entre dois pontos nada mais é do que o módulo do vetor (comprimento da flecha) que une esses pontos. Por esse motivo, caso o vetor esteja em um sistema de coordenadas, basta usar a mesma fórmula para calcular seu módulo.

Assim como números podem ser somados, é possível somar vetores. Isso é útil, por exemplo, quando se deseja o deslocamento real depois que uma pessoa realiza três deslocamentos.

A soma de vetores nos dá o vetor resultante, que é a diferença entre o ponto final e o ponto inicial. Para fazer isso, basta juntar o final de um vetor com o começo do outro. Veja o exemplo abaixo:

Aqui, podemos verificar que o vetor roxo equivale à soma dos vetores cinza. Note que a soma pode ser feita em qualquer ordem, uma vez que o resultado da soma sempre será o vetor que liga A até D.

Quando se soma vetores de dois em dois, é possível determinar o módulo do vetor resultante sem medir seu comprimento. No caso abaixo, iremos somar os dois vetores em azul, sabendo apenas seus módulos e o ângulo formado entre eles. Para isso, aplica-se a lei dos cossenos.

Essa fórmula pode ser generalizada para quaisquer dois vetores que se deseja somar – basta deslocar os vetores para que suas pontas se encostem e formem um ângulo. Esse método é também chamado de regra do paralelogramo.

Confira um exemplo:

Se a soma de dois vetores, de módulos 6 e 4, gera um vetor de módulo 10, qual é o ângulo formado entre eles?

Também é possível subtrair vetores. Para fazer uma subtração de um vetor pelo outro, é preciso somar um vetor com o oposto do outro.