Ciclo de Carnot

Até o começo do século XIX, acreditava-se que não existia um limite físico para o rendimento de certa máquina térmica. Assim, pensava-se que, algum dia, seria possível produzir uma máquina térmica com rendimento ( η ) igual a 100 %.

Entretanto, com as ideias que surgiram com Segunda Lei da Termodinâmica, ficou claro que seria impossível construir uma máquina com rendimento tão alto como esse pensado.

A fim de reforçar essa ideia, o físico e engenheiro militar francês Nicolas Léonard Sardi Carnot teve a intenção em construir, teoricamente, uma máquina térmica ideal, em que uma vez definidas as temperaturas das fontes quente e fria, a máquina teria o maior rendimento possível.

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Tal Ciclo de Carnot obedeceria a dois postulados, criados por ele antes mesmo da existência da Primeira Lei da Termodinâmica, as quais seriam:

1º Postulado 

“Nenhuma máquina operando entre duas temperaturas fixadas pode ter rendimento maior que a máquina ideal de Carnot, operando entre essas mesmas temperaturas”

2º Postulado

 “Ao operar entre essas duas temperaturas, a máquina ideal de Carnot tem o mesmo rendimento, qualquer que seja o fluido operante”

Primeiramente, vejamos como funciona, simplificadamente, uma máquina térmica qualquer:

Onde, na Figura 1:

Qq = Calor da Fonte Quente

Qf = Calor da Fonte Fria

W = Trabalho que se consegue desenvolver a partir das duas fontes e a máquina térmica usada.

Vale lembrar como seria para calcular o rendimento de certa máquina térmica. Para tal, faça:

E pelo próprio modelo apresentado, tira-se:

$$|W|=|Qq-Qf|;$$

Então,

$$n=\frac{|Qq-Qf|}{|Q|}$$

$$n=1-\frac{|Qf|}{|Qq|}$$

Sabendo disso, podemos aplicar a ideia de Carnot para a construção do Ciclo de Carnot. Para isso, basta dizer que:

$$\frac{|Qf|}{|Qq|}=\frac{Tf}{Tq};(i)$$

Portanto, aplicando esse novo fato, temos:

$$\eta=1=\frac{Tf}{Tq}$$

Chega-se assim à fórmula do rendimento do Ciclo de Carnot. Vale lembrar que tal ciclo é ideal e, assim, pode ser usado qualquer fluido como operante para a máquina térmica (2º Postulado).

Logo, aplicando um gás ideal, podemos tirar uma conclusão bastante importante para a termodinâmica:

Para ter um \(\eta=100%\) , seria necessário que Tf = 0 K. No entanto, como já se sabe que isso é impossível (pela Segunda Lei da Termodinâmica), conclui-se que é impossível chegar no 0 K para um gás ideal.

Para a equação (i), note que:

• É importante lembrar a existência do módulo, pois para cada modelo termodinâmico adotado (físico ou químico) pode ser que ou o calor da fonte fria ou o calor da fonte quente seja negativo, não compactuando com as temperaturas em kelvin, em que são sempre positivas.
• Essa fórmula vem da ideia de Carnot, em que, para ele, para que seja alcançado a idealidade, seria necessário que a variação de entropia do sistema seja o menor possível. Como \(\Delta_{sistema}\ge0\), basta fazer com que \(\Delta_{sistema}=0\) para idealidade, o que implicará na fórmula acima.

Uma vez que já foi possível chegar ao rendimento do Ciclo de Carnot, seria importante visualizar a representação desse ciclo no gráfico P x V, caso o fluido operante seja um gás ideal.

Portanto, aplicando as ideias de Carnot, temos o seguinte gráfico:

Note que \(\gamma\) (é o coeficiente de Poisson)

• De B para C: Expansão Adiabática

• De C para D: Contração Isotérmica

• De D para A: Contração Adiabática

• De A para B: Expansão Isotérmica

Sabendo dessas informações, podemos concluir que:

$$W_{ciclo}-Q_{DA}-Q_{BC};$$

Lembrando que para qualquer transformação adiabática de um gás ideal é possível usar a seguinte relação:

$$P.V^{\gamma}=cte$$

Ou, ainda (usando da equação de Clapeyron):

$$T.V^{\gamma -1}=cte$$

Voltando com essas informações relembradas, podemos ter:

$$Tq.V_A^{\gamma -1}=T_f.V_B^{\gamma -1}(ii)$$

$$Tq.V_D^{\gamma -1}=T_f.V_C^{\gamma -1}(iii)$$

Dividindo (ii) e (iii) e aplicando o resultado, temos:

Ainda,

\(\Delta S_{DA}=\Delta S_{CD}\)

Veja que o resultado foi igual ao do rendimento calculado previamente, reforçando o modelo usado para o gráfico P x V!