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Física

Empuxo

Gabriel Briguiet
Publicado por Gabriel Briguiet
Última atualização: 5/11/2018

Introdução

O empuxo é uma força que um fluido exerce sobre um corpo nele imerso ou parcialmente imerso. Essa é a força responsável por fazer, por exemplo, um pedaço de isopor boiar na água, e pode ser chamada de força de flutuação. Também é o empuxo que faz um objeto pesado, quando dentro d’água, parecer mais leve do que realmente é.

O corpo, em um líquido, estará sujeito a duas forças: o peso e o empuxo. Supondo que ele boie, é necessário que o empuxo tenha mesmo módulo, mesma direção e sentido contrário ao peso. Portanto, conclui-se que o empuxo é uma força vertical e para cima.

Seu módulo é dado por:

$$E=d_{L} \cdot v_{s} \cdot g $$

Onde \(d_{L})\ é a densidade do líquido, \(v_{s})\ o volume submerso do corpo, e g é a aceleração da gravidade

Densidade

A propriedade de corpos afundarem ou flutuarem, quando imersos em um fluido (líquido ou gás), está relacionada à densidade (ou massa específica).

A densidade é definida como a razão entre a massa e o volume de um corpo:

$$ d=\frac{m}{v}$$

Sua unidade no sistema internacional  é \(kg/m^{3}\), mas também são utilizadas \(g/cm^{3})\ e \(kg/L)\. A densidade da água, em temperaturas próximas à ambiente, é \(1000 kg/m^{3} = 1 kg/L = 1 g/cm^{3}\).

Se a densidade de um corpo for menor que a do fluido, o corpo flutuará. Se as densidades forem iguais, o corpo permanecerá totalmente imerso e em equilíbrio. Caso a densidade do corpo seja maior que a do fluido, o corpo afunda.

dcorpo < dfluidoCorpo Flutua
dcorpo = dfluidoImerso e em equilíbrio
dcorpo > dfluidoCorpo Afunda

As regras expostas acima também valem para a comparação entre fluidos! O óleo, por exemplo, flutua na água, pois sua densidade é aproximadamente \(0,8 kg/L\).

Para que um corpo nas duas primeiras situações esteja em equilíbrio, deve ter Peso do corpo = Empuxo, caso essas sejam as únicas forças atuantes.

Se a densidade do corpo for muito menor que a do líquido em que está flutuando, uma parcela bem pequena de seu volume ficará submersa. Um exemplo é um balão de ar boiando. Quanto mais a densidade do corpo se aproxima da do líquido, maior a porcentagem de seu volume que estará submersa.

Princípio de Arquimedes

Arquimedes, um dos principais matemáticos e físicos da Grécia Antiga, foi responsável por formular um princípio sobre o empuxo sofrido por um corpo.

Reza a lenda que Arquimedes deveria determinar se a coroa recebida pelo rei Herão, de Siracusa, era completamente feita de ouro (como encomendada). Enquanto estava na banheira, ele teria tido a ideia, e gritado “Eureka”, que significa “descobri”.

Sua ideia consistiu em colocar a coroa em um recipiente cheio de água, e medir o volume que transbordara. A seguir, mediu o volume transbordado por uma barra de ouro puro, de mesma massa que a coroa.

Ao constatar que os volumes aferidos eram diferentes, Arquimedes afirmou que, por ter densidade diferente do ouro puro, a coroa estava adulterada. Posteriormente, descobriu-se que a coroa era parcialmente preenchida com prata, por má fé do ourives.

Com essa experiência, Arquimedes formulou o princípio de que “todo corpo imerso em um fluido sofre ação de uma força (empuxo) vertical e para cima, cuja intensidade é igual ao peso do fluido deslocado pelo corpo.”

Assim, a direção e sentido do empuxo é vertical para cima, e seu módulo é dado pela fórmula:

$$E=d_{L} \cdot v_{s} \cdot g $$

Como \(d=\frac{m}{v}\), o produto (\d_{L} \cdot v_{s}\) é igual à massa do fluido (em geral, líquido) deslocado, ao ser multiplicado pela gravidade, ele nos fornece o peso de líquido deslocado, como enunciou Arquimedes. 

Demonstração da fórmula

A partir do Princípio de Arquimedes, basta substituir o peso do fluido deslocado por \(massa \cdot gravidade\) e, posteriormente, massa por \(densidade \cdot volume\), chegando a \(E=d_{L} \cdot v_{s} \cdot g\).

Outra abordagem é considerar um corpo prismático submerso, e interpretar o empuxo como resultado da diferença de pressão hidrostática atuante no corpo:


A pressão hidrostática atua igualmente em todas as direções e, por isso, as pressões P3 e P são anuladas pelas pressões nas faces respectivamente opostas.

Já as pressões hidrostáticas P1 e P2 são determinadas pelo princípio de Stevin:

$$P_{1}=d_{L} \cdot g \cdot H_{1} \hspace{20} P_{2}=d_{L} \cdot g \cdot H_{2}$$

Como Pressão = Força / Área, e considerando as áreas 1 e 2 iguais:

$$ P_{1} \cdot A = F_{1} =d_{L} \cdot g \cdot A \cdot H_{1}  \hspace{20}   P_{2} \cdot A = F_{2} =d_{L} \cdot g \cdot A \cdot H_{2} $$

A força resultante será o empuxo \E = F_{2} - F_{1}\:

$$E = d_{L} \cdot g \cdot A \cdot (H_{2} - H_{1}) $$

Como \H_{2} - H{1}\ é igual à altura do corpo, e área vezes a altura é igual ao volume submerso do corpo, chega-se à fórmula:

$$E=d_{L} \cdot v_{s} \cdot g $$

Essa dedução para o módulo do empuxo pode ser generalizada para corpos de outros formatos, apesar de que, para corpos assimétricos, o empuxo exercerá um momento sobre o centro de massa do objeto.

O caso do iceberg

Um iceberg flutua pois o gelo (água no estado sólido) tem densidade menor que a água no estado líquido. A densidade da água do mar é aproximadamente 1,03 kg/L, enquanto a do gelo é aproximadamente 0,92 kg/L. Assim, como a diferença entre as densidades não é muito grande, a maior parte do iceberg permanece embaixo d’água, e algo em torno de 10% de seu volume fica visível acima do nível do mar.

O gelo flutuando

Além do iceberg, um cubo de gelo, ao ser colocado em um copo de bebida, flutua por razão bem semelhante à do iceberg, já que sua densidade é menor que a do líquido.

Analisando agora a situação do gelo derretendo em um copo de água, verifica-se que o nível de água marcado por alguém observando o copo não se altera. Pode-se pensar que o gelo deslocou um certo volume de água, correspondente a seu peso (Princípio de Arquimedes). Como sua massa é conservada, o peso do gelo (estado sólido) será o mesmo dele como água (estado líquido).

Contudo, como o volume deslocado foi correspondente ao peso, ao derreter, o gelo ocupará exatamente o mesmo volume que estava submerso, não elevando o nível! Como a densidade da água é menor que a do gelo, faz sentido pensar que a mesma massa ocupará um volume menor no estado líquido que no sólido.

Como o navio flutua?

Devido a seu peso considerável, um navio, intuitivamente, teria uma densidade alta (maior que a da água) e afundaria. Contudo, os navios possuem um grande volume submerso e oco. Assim, sua densidade total se torna menor que a da água (muita massa porém volume maior ainda), e ele flutua.

Quanto mais pesado o navio, maior será a profundidade necessária para a sua navegação, que é fator determinante na construção de portos e canais.


Exercícios

Exercício 1
(UERJ/2016)

Uma barca para transportar automóveis entre as margens de um rio, quando vazia, tem volume igual a 100 m3 e  massa igual a \4,0 \cdot 10^{4}\ kg. Considere que todos os automóveis transportados tenham a mesma massa de \1,5 \cdot 10^{3}\ kg e que a densidade da água seja de \1000 kg \cdot m^{-3}\.

O número máximo de automóveis que podem ser simultaneamente transportados pela barca corresponde a:

Ilustração: Rapaz corpulento de camiseta, short e tênis acenando

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