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Física

Equação de Torricelli

Gabriel Briguiet
Publicado por Gabriel Briguiet
Última atualização: 28/4/2019

Introdução

Dentro da cinemática, as equações horárias são muito utilizadas. Elas são ditas horárias pois dependem do instante, do tempo transcorrido desde o início do movimento. Para um movimento uniformemente variado, as equações horárias são:

$$ S=S_{0} + V_{0} \cdot t + \dfrac{a \cdot t^{2}}{2}  \qquad V=V_{0} + a \cdot t $$

A primeira é conhecida como equação horária da posição, e a segunda equação horária da velocidade. 

Entretanto, é possível obter uma equação para o movimento uniformemente variado sem a dependência do tempo. Ela envolve a velocidade final, a velocidade inicial, a aceleração e o deslocamento, e é conhecida como equação de Torricelli:

$$ V_{f}^{2} = V_{0}^{2} + 2 \cdot a \cdot \Delta S $$

Demonstração da equação

Tomando a equação horária da posição, pode-se passar o termo \( S_{0} \) para o lado esquerdo da equação, de modo que \( S - S_{0} = \Delta S \). Vamos considerar essa a equação 1:

$$ \Delta S =  V_{0} \cdot t + \dfrac{a \cdot t^{2}}{2} $$

Agora elevando a equação horária da velocidade ao quadrado em ambos os lados, e se utilizando de um produto notável, obtém-se:

$$ V_{f}^{2} = V_{0}^{2} + 2 \cdot V_{0} \cdot a \cdot t + a^{2} \cdot t^{2} $$

Dividindo essa equação pela aceleração \( 2 \cdot a \), as duas últimas parcelas terão simplificações, de maneira que:

$$ \dfrac{V_{f}^{2}}{2 \cdot a} = \dfrac{V_{0}^{2}}{2 \cdot a} + V_{0} \cdot t + \dfrac{a \cdot t^{2}}{2} $$

Observando as duas últimas parcelas dessa equação, percebe-se que elas coincidem com o lado direito da equação 1. Assim, pode-se substituir tais parcelas pelo \( \Delta S \):

$$  \dfrac{V_{f}^{2}}{2 \cdot a} = \dfrac{V_{0}^{2}}{2 \cdot a} + \Delta S $$

Para deixar essa última equação no formato conhecido da equação de Torricelli, basta multiplicá-la novamente por \( 2 \cdot a \):

$$ V_{f}^{2} = V_{0}^{2} + 2 \cdot a \cdot \Delta S $$

Vale observar que o deslocamento \( \Delta S \) deve ser o deslocamento do móvel enquanto ele passou da velocidade \( V_{0} \) para a velocidade \( V_{f} \), e que todos os valores devem estar em unidades do Sistema Internacional.

Além disso, a equação só é válida para um movimento uniformemente variado (MUV), isto é, que possui aceleração escalar constante e não nula. 

O uso da equação de Torricelli é favorável quando o tempo de duração do movimento não é informado, tampouco é desejado para a resolução do problema. Entretanto, qualquer problema que envolva a equação de Torricelli pode também ser resolvido em duas etapas, usando as equações horárias e sem o uso da equação de Torricelli.


Exercícios

Exercício 1
(UNICAMP/2016)

A demanda por trens de alta velocidade tem crescido em todo o mundo. Uma preocupação importante no projeto desses trens é o conforto dos passageiros durante a aceleração. Sendo assim, considere que, em uma viagem de trem de alta velocidade, a aceleração experimentada pelos passageiros foi limitada a \( a_{max} = 0,09 \cdot g \), onde \( g=10 m/s^{2} \) é a aceleração da gravidade. Se o trem acelera a partir do repouso com aceleração constante igual a \( a_{max} \), a distância mínima percorrida pelo trem para atingir uma velocidade de 1080 km/h corresponde a

Ilustração: Rapaz corpulento de camiseta, short e tênis acenando

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