No artigo de ponto, reta e plano, apresentamos os os três entes primitivos. Inicialmente, iremos introduzir dois conceitos importantes: segmento de reta e semirreta.
Tomemos dois pontos \( A\) e \( B\) distintos entre si ambos pertencentes a uma mesma reta \( r\). Ao conjunto de pontos da reta \(r\) que estão entre \(A\) e \( B\) damos o nome de segmento de reta \(AB\) e denotamos por \(\bar{AB}\).
Consideramos os pontos \( A\) e \( B\) também pertencentes ao tal segmento e os chamamos de extremos de \( \bar{AB}\).
Se \( X\) for um ponto qualquer entre \(A\) e \(B\), então podemos escrever o segmento de reta \(AB\) como:
$$ \bar{AB}=\{X\mid X\;\text{está entre}\;A\;\text{e}\;B\}$$
Fica evidente que ao contrário de uma reta, um segmento de reta tem um começo e um fim.
Uma semirreta com origem num ponto \(A\) e passando por \( B\) é a união do segmento de reta \( \bar{AB}\) com os pontos \(X\) de modo que \(B\) está entre \(A\) e \(X\).
Ou seja, uma semirreta tem uma origem (neste caso, o ponto \(A\) mas não tem fim. Escrevemos a semirreta \(AB\) como \(\overline{AB}\)
Se \(A\) for um ponto entre \(B\) e \(C\) então as semirretas \(\overline{AB}\) e \(\overline{AC}\) são chamadas de semirretas opostas.
Tomando duas semirretas \(\overline{OA}\) e \(\overline{OB}\) de mesma origem \(O\). Chamamos de ângulo a região compreendida entre tais duas semirretas:
O ângulo ilustrado acima é indicado por \(A\hat{O}B\). A origem \(O\) comum às duas semirretas é definida como vértice do ângulo. E ainda dizemos que as semirretas \(\overline{OA}\) e \(\overline{OB}\) são os lados do ângulo.
Os pontos que estão entre as semirretas que originam um ângulo são chamados de pontos interiores.
Dois ângulos serão chamados de ângulos consecutivos quando um de seus lados coincidirem.
Acima, os ângulos \(A\hat{O}B\) e \(A\hat{O}C\) são consecutivos pois, eles têm o lado \(OA\) em comum.
Os ângulos \(A\hat{O}B\) e \(B\hat{O}C\) ilustrados anteriormente também são consecutivos já que o lado \(OB\) é comum a ambos.
Ângulos adjacentes são ângulos consecutivos mas que não apresentam pontos interiores em comum. Acima, apenas na segunda imagem, os ângulos \(A\hat{O}B\) e \( B\hat{O}C\) são adjacentes.
Dois ângulos são opostos pelo vértice (OPV) se os seus lados coincidirem com semirretas opostas. Na figura a seguir, os ângulos \(A\hat{O}B\) e \(C\hat{O}D\) são opostos pelo vértice.
Uma das principais medidas para um ângulo é o grau (º) que é definido da seguinte maneira: divide-se uma circunferência em 360 partes iguais e cada parte é dita ter 1º.
Deste modo, meia circunferência, isto é, o ângulo formado por duas semirretas opostas tem 180º.
Acima, \(A\hat{O}B=180º\)
Definimos como ângulos congruentes aqueles que têm a mesma medida. Podemos mostrar ainda que, se dois ângulos forem opostos pelo vértice, então eles são congruentes.
Podemos classificar um ângulo quanto a sua medida de três maneiras:
Por convenção, denotados um ângulo reto como ilustrado acima.
Em particular, um ângulo de 180º é chamado de ângulo raso.
Ainda, é possível classificar dois ângulos através da soma de suas medidas:
Assim, se um ângulo medir \(x\), então o seu complemento mede \(90º-x\) e seu suplemento, \(180º-x\).
O dobro do complemento de um ângulo é igual à quinta parte do suplemento desse ângulo. A medida do ângulo é igual a: