Cálculo da área do tronco de cone: fórmulas, exemplos e exercícios

Um tronco de cone circular é uma figura tridimensional gerada ao cortar um cone por um plano paralelo à sua base, removendo a parte superior. Por isso, também é conhecido como cone truncado. 

Essa figura possui duas bases circulares: uma maior (inferior) e outra menor (superior), além de uma altura, que é a distância entre essas duas bases, e uma geratriz inclinada que conecta as extremidades das bases.

As principais propriedades do tronco de cone incluem:

• Bases circulares: as duas bases são paralelas e possuem raios diferentes.

• Altura: distância perpendicular entre as bases.

• Geratriz: segmento inclinado que liga os pontos das bordas das bases.

Entender essas propriedades ajuda a visualizar o tronco de cone dentro do estudo de figuras tridimensionais e a aplicar as fórmulas corretas para cálculo de áreas e volumes.

Elementos que compõem o tronco de cone

Para calcular as áreas do tronco de cone, é importante conhecer suas partes fundamentais:

• Base maior (R): a base inferior, de raio maior.

• Base menor (r): a base superior, de raio menor.

• Altura (h): distância perpendicular entre as bases.

• Geratriz (g): segmento inclinado entre as bordas das bases, utilizado no cálculo da área lateral.

Cada um desses elementos é essencial para aplicar corretamente as fórmulas e obter resultados precisos.

Diferença entre tronco de cone e tronco de pirâmide

Embora ambos sejam figuras truncadas, o tronco de cone tem bases circulares, enquanto o tronco de pirâmide apresenta bases poligonais, geralmente quadradas ou triangulares. 

Essa diferença na forma das bases influencia diretamente as fórmulas para cálculo de área e volume, e é importante não confundir os dois na resolução de problemas de geometria.

Para calcular a área do tronco de cone, dividimos o problema em três partes: área lateral, área das bases e área total.

1. Área lateral (A_lateral): envolve a geratriz e a soma dos perímetros das bases. A fórmula é:
   
   

Alateral=π×(R+r)×gA_{\text{lateral}} = \pi \times (R + r) \times gAlateral​=π×(R+r)×g

onde:

• RRR = raio da base maior

• rrr = raio da base menor

• ggg = geratriz do tronco de cone

2. Área das bases (A_bases): a soma das áreas das duas bases circulares. Cada área é dada por:

Abase=π×raio2A_{\text{base}} = \pi \times \text{raio}^2Abase​=π×raio2

Logo, a área total das bases é:

Abases=π×R2+π×r2=π(R2+r2)A_{\text{bases}} = \pi \times R^2 + \pi \times r^2 = \pi (R^2 + r^2)Abases​=π×R2+π×r2=π(R2+r2)

3. Área total (A_total): soma da área lateral com a área das bases:

Atotal=Alateral+Abases=π(R+r)g+π(R2+r2)A_{\text{total}} = A_{\text{lateral}} + A_{\text{bases}} = \pi (R + r) g + \pi (R^2 + r^2)Atotal​=Alateral​+Abases​=π(R+r)g+π(R2+r2)

Além do cálculo da área, o volume do tronco de cone, embora não seja o foco principal aqui, está relacionado e pode ser calculado pela fórmula:

V=13πh(R2+Rr+r2)V = \frac{1}{3} \pi h (R^2 + Rr + r^2)V=31​πh(R2+Rr+r2)

Esse conhecimento ajuda a entender melhor a geometria do tronco de cone e suas aplicações em problemas.

Cálculo da área lateral do tronco de cone

Para calcular a área lateral, é necessário conhecer a geratriz (g) e os raios das bases. A área lateral corresponde à superfície inclinada que envolve o tronco, e a fórmula é:

Alateral=π(R+r)gA_{\text{lateral}} = \pi (R + r) gAlateral​=π(R+r)g

A geratriz pode ser obtida pela fórmula:

g=h2+(R−r)2g = \sqrt{h^2 + (R - r)^2}g=h2+(R−r)2​

onde hhh é a altura entre as bases. Essa relação é fundamental para aplicar corretamente o cálculo da área lateral.

Cálculo da área das bases do tronco de cone

Cada base do tronco de cone é um círculo, por isso, o cálculo da área de cada uma é:

Abase=π×raio2A_{\text{base}} = \pi \times \text{raio}^2Abase​=π×raio2

No tronco de cone, existem duas bases, então a área total das bases é a soma da área da base maior com a da base menor:

Abases=πR2+πr2A_{\text{bases}} = \pi R^2 + \pi r^2Abases​=πR2+πr2

Esse cálculo é simples, mas essencial para encontrar a área total.

Cálculo da área total do tronco de cone

A área total é a soma da área lateral com as áreas das duas bases:

Atotal=Alateral+Abases=π(R+r)g+π(R2+r2)A_{\text{total}} = A_{\text{lateral}} + A_{\text{bases}} = \pi (R + r) g + \pi (R^2 + r^2)Atotal​=Alateral​+Abases​=π(R+r)g+π(R2+r2)

Compreender essa soma é crucial para resolver exercícios que pedem a área total do tronco de cone, principalmente em provas de matemática espacial.

Para fixar o conteúdo, vamos aplicar as fórmulas em um exemplo prático.

Exemplo:

Um tronco de cone tem base maior de raio 6 cm, base menor de raio 3 cm e altura 4 cm. Calcule:

• a) A geratriz ggg

• b) A área lateral

• c) A área das bases

• d) A área total

Solução:

1. Calcular a geratriz:

g=h2+(R−r)2=42+(6−3)2=16+9=25=5 cmg = \sqrt{h^2 + (R - r)^2} = \sqrt{4^2 + (6 - 3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \text{ cm}g=h2+(R−r)2​=42+(6−3)2​=16+9​=25​=5 cm

2. Área lateral:

Alateral=π(6+3)×5=π×9×5=45π cm2A_{\text{lateral}} = \pi (6 + 3) \times 5 = \pi \times 9 \times 5 = 45\pi \text{ cm}^2Alateral​=π(6+3)×5=π×9×5=45π cm2

3. Área das bases:

Abases=π×62+π×32=π×(36+9)=45π cm2A_{\text{bases}} = \pi \times 6^2 + \pi \times 3^2 = \pi \times (36 + 9) = 45\pi \text{ cm}^2Abases​=π×62+π×32=π×(36+9)=45π cm2

4. Área total:

Atotal=45π+45π=90π cm2≈282,74 cm2A_{\text{total}} = 45\pi + 45\pi = 90\pi \text{ cm}^2 \approx 282,74 \text{ cm}^2Atotal​=45π+45π=90π cm2≈282,74 cm2

Esse tipo de exercício é frequente no Enem e concursos, sendo importante seguir cada passo para evitar erros.

Para garantir precisão nos cálculos da área do tronco de cone, observe as seguintes recomendações:

• Meça corretamente os raios das bases, certificando-se de que são perpendiculares ao eixo do tronco.

• Use uma régua ou fita métrica para determinar a altura hhh entre as bases.

• Calcule a geratriz com cuidado, aplicando a fórmula g=h2+(R−r)2g = \sqrt{h^2 + (R - r)^2}g=h2+(R−r)2​.

• Ao substituir valores nas fórmulas, mantenha a unidade de medida constante.

• Revise os cálculos para confirmar a soma correta da área lateral e das áreas das bases.

Essas práticas ajudam a evitar erros comuns na aplicação das fórmulas da geometria do tronco de cone.

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