Conjuntos complementares

Para explicar conjuntos complementares, vamos tomar os conjuntos

$$A=\{1,2,3,4,5,6\}$$

e

$$B=\{1,2,3\}$$

Note que faltam os elementos 4, 5 e 6 para o conjunto \(B\) se completar a fim de se tornar o conjunto \(A\). E em forma de operações de conjuntos, tal complemento nada mais é que a diferença entre eles, isto é:

$$A-B=\{4,5,6\}$$

Portanto, de modo mais geral, temos que, dados dois conjuntos \(A\) e \(B\), o complementar de \(B\) em relação a \(A\) é:

$$\complement_{A}^{B}=\{x\in A\mid x\notin B\}$$

Em relação ao exemplo inicial, temos então

$$\complement_{A}^{B}=\{4,5,6\}$$

Temos ainda o conceito de conjunto complementar em relação a um conjunto universo \(U\): sendo \(A\) um conjunto dentro de \(U\), então indicando por

$$A^{\complement}$$

é o conjunto de todos os elementos de \(U\) que não são elementos de \(A\), isto é, a diferença

$$U-A$$

Por exemplo, se \(U=\mathbb{N}\) e \(A\) for o conjunto dos naturais pares, então o seu complementar \(A^{\complement}\) claramente é o conjunto dos naturais ímpares, isto é

$$A=\{2,4,6,8,10,\ldots\}$$

e

$$A^{\complement}=\{1,3,5,7,9,\ldots\}$$

Podemos ver que

$$A\cup A^{\complement}=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,\ldots\}=\mathbb{N}$$

Em linhas mais gerais, a união de um conjunto com o seu complementar resulta no conjunto universo inteiro:

$$A\cup A^{\complement}=U$$