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Matemática

Diagrama de Venn

Giovana Oliveira
Publicado por Giovana Oliveira
Última atualização: 8/2/2020

Introdução

diagrama de Venn é amplamente utilizado no estudo de conjuntos. Ele é uma forma visual e simples de representar relações entre diferentes conjuntos, e carrega o nome do matemático John Venn, responsável por sua criação. 

(Exemplo de um Diagrama de Venn) 

Interseção de Conjuntos

Quando temos dois conjuntos distintos A e B, e interseção entre eles é escrita matematicamente como A \cap B. Veja a figura:

  • O conjunto A é representado pelo círculo amarelo, e o conjunto B pelo rosa. 
  • A \cap B é a seção onde os círculos se sobrepõem, e representa os elementos que estão em A e estão em B, ou seja, a intersecção deles.

União de Conjuntos

Quando temos dois conjuntos distintos A e B, e união entre eles é escrita matematicamente como A \cup B, e representada por todo o conjunto verde abaixo. 

Como resolver um problema de conjuntos utilizando o Diagrama de Venn

Para entender como utilizar o Diagrama de Venn na resolução de um problema que envolve conjuntos, veja a explicação do seguinte problema:

“Uma pesquisa foi realizada em uma escola, questionando os alunos do ensino médio sobre quais séries famosas de livros eles já haviam lido. Os alunos podiam escolher entre as 3 opções:

  • Harry Potter
  • O Senhor dos Anéis
  • Desventuras em Série

As seguintes respostas foram obtidas:

  • 136 alunos haviam lido Harry Potter
  • 85 alunos haviam lido O Senhor dos Anéis
  • 73 alunos haviam lido Desventuras em Série
  • 37 alunos haviam lido Harry Potter e O Senhor dos Anéis
  • 22 alunos haviam lido Harry Potter e Desventuras em Série
  • 15 alunos haviam lido O Senhor dos Anéis e Desventuras em Série
  • 9 alunos haviam lido as 3 séries. 
  • 51 alunos não haviam lidos nenhuma das três séries.

Quantos alunos foram entrevistados no total?”

Cuidado! Para resolver o problema não podemos somente somar os valores que foram dados no enunciado, pois assim estaríamos contando alguns alunos mais de uma vez. Por exemplo:

  • 136 alunos haviam lido Harry Potter.
  • 37 alunos haviam lido Harry Potter e O Senhor dos Anéis.

Os 37 alunos mencionados na segunda afirmação fazem parte dos 136 alunos da primeira afirmação.

Mas fique tranquilo, porque podemos representar todas as informações contidas no enunciado de maneira concisa através de um Diagrama de Venn, e assim resolver o problema corretamente. Veja a explicação passo a passo:

1º Passo: comece dando nomes a cada conjunto. 

  • Conjunto A = leitores de Harry Potter (representados pelo círculo amarelo)
  • Conjunto B = leitores de O Senhor dos Anéis (representados pelo círculo rosa)
  • Conjunto C = leitores de Desventuras em Série. (representados pelo círculo azul)

  • Conjunto A \ cap B = leitores de Harry Potter e de O Senhor dos Anéis, ou seja, são a parte do diagrama onde os círculos amarelo e rosa se sobrepõem. 
  • Conjunto A \ cap C = leitores de Harry Potter e de Desventuras em Série, ou seja, são a parte do diagrama onde os círculos amarelo e azul se sobrepõem. 
  • Conjunto B \ cap C = leitores de O Senhor dos Anéis e de Desventuras em Série, ou seja, são a parte do diagrama onde os círculos rosa e azul se sobrepõem. 
  • Conjunto A \ cap B \ cap C = leitores de Harry Potter, de O Senhor dos Anéis e de Desventuras em Série, ou seja, onde os três círculos se sobrepõem, como indicado abaixo:

2º Passo: calcular os valores numéricos de cada conjunto descrito acima

O ideal é sempre começarmos pelo conjunto que representa a intersecção entre os 3, ou seja, A\ cap B \ cap C. Sabemos pelo enunciado que o número de leitores das três séries é de 9 alunos. Ou seja, A \ cap B \ cap C tem 9 elementos. Assim, vamos escrever o número 9 no espaço do Diagrama representado por  A \ cap B \ cap C.

Agora, cuidado!  A \ cap B \ cap C  também faz parte de A \cap B, A \cap C e B \cap C. Para encontrarmos os valores de cada uma dessas intersecções é preciso descontar  A \ cap B \ cap C  (que é 9) dos valores que nos foram dados no enunciado. Veja a figura:

Efetuando as operações, obtemos:

Por fim, vamos calcular quais leitores somente leram uma série. Para isso, precisamos descontar as intersecções que acabamos de calcular dos valores dados no enunciado.

  • Leitores somente de Harry Potter = 136 - 28 - 13 - 9 = 86
  • Leitores somente de O Senhor dos Anéis = 85 - 28 - 6 - 9 = 42
  • Leitores somente de Desventuras em Série = 73 - 13 - 6 - 9 = 45

Vamos também acrescentar os alunos que não leram nenhuma das séries. Como eles não pertencem a nenhum dos conjuntos A, B ou C, escrevemos o número fora dos círculos. E assim fica o nosso Diagrama de Venn final:

Agora, para responder a pergunta do problema basta somar todos os números que aparecem no Diagrama de Venn. Ou seja:

Total de alunos entrevistados = 86 + 45 + 42 + 13 + 28 + 6 + 9 + 51 = 280 


Exercícios

Exercício 1
(Unesp/1990)

Numa classe de 30 alunos, 16 alunos gostam de Matemática e 20 de História. O número de alunos desta classe que gostam de Matemática e de História é:

Ilustração: Rapaz corpulento de camiseta, short e tênis acenando

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