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Matemática

Equação exponencial

Marcus Vinicius
Publicado por Marcus Vinicius
Última atualização: 22/10/2018

Introdução

Chamamos de equação exponencial aquela em que as incógnitas são expoentes de uma potência, como no exemplo abaixo:

$$ 2^{x}=16$$

Ou seja, basicamente queremos saber o seguinte: 2 elevado a qual número resulta em 16?

Para resolver uma equação exponencial, devemos acrescentar uma potência em cada lado da igualdade, e ambas na mesma base. Com isso, podemos concluir que os expoentes são iguais:

$$ a^{x}=a^{y}\Rightarrow x=y$$

Exemplos de Equação Exponencial

  • Na equação

$$2^{x}=2^{3}$$

como as bases já são iguais, então basta igualarmos os expoentes, que é a solução final da mesma:

$$x=3$$
 

  • Em

$$9^{x}=27$$

devemos primeiro deixar as potências na mesma base; o ideal é sempre escrever em bases de números primos.

Ao decompor 9 e 27, obtemos:

\(9=3^{2}\) e \(27=3^{3}\).

Sendo assim

$$9^{x}=27\Rightarrow(3^{2})^{x}=3^{3}\Rightarrow 3^{2x}=3^{3}$$

Ou seja:

$$2x=3\Rightarrow x=\frac{3}{2}$$.

  • Observe que o ideal é sempre deixar uma única potência em cada lado da igualdade; na equação a seguir, juntamos primeiro as duas potências à esquerda da igualdade:
     

$$2^{x}\cdot2^{3}=2^{7}$$

 $$2^{x+3}=2^{7}$$

só então igualamos os expoentes:

$$x+3=7\Rightarrow x=4$$

Expressão Algébrica

Se ficou um pouco difícil de entender o que é uma equação exponencial, os conceitos de expressão algébrica, equação e potência podem te ajudar.

Uma expressão algébrica é um conjunto de operações, números e incógnitas (números desconhecidos) que são representadas por letras, geralmente do nosso alfabeto. Abaixo, temos uma expressão algébrica com as incógnitas representadas por \(x\) e \(y\):

$$ 2x+3-4xy+y^{2}+10x^{2}y$$

Equação

Uma equação é uma igualdade entre duas expressões algébricas. Usamos equações para determinar o valor das incógnitas destas expressões.

Na igualdade a seguir, temos uma equação com duas incógnitas \( x\) e \( y\):

$$ 3x+4y-8=2xy-x^{2}+15$$

Já abaixo, temos uma equação em uma única incógnita (ou variável) que neste caso é \( x\):

$$ 3x+2=8$$

Na equação acima notamos que para nem todo \( x\) a igualdade é verdadeira, isto é, se tomarmos \( x=4\), por exemplo, ao substituirmos na equação, obtemos:

$$ 3\cdot4+2=8\Rightarrow12+2=8\Rightarrow14=8$$

o que é falso.

Porém, para \( x=2\) na mesma equação, iremos ter:

$$ 3\cdot2+2=8\Rightarrow6+2=8\Rightarrow8=8$$

que é verdadeiro.

Deste modo, chamamos \( x=2\) de solução, zero ou raiz da equação. E escrevemos o conjunto-solução (ou conjunto-verdade) da equação do seguinte modo:

$$ S=\{2\}$$

Assim, quando queremos solucionar uma equação, estamos buscando para quais valores das incógnitas teremos uma sentença verdadeira, isto é, procuramos pelas suas raízes.

É importante notar que uma equação pode ter nenhuma, apenas uma, mais de uma ou infinitas soluções.

Na equação

$$ x+2=x+3$$

obtemos que \( 2=3\) para qualquer valor de \( x\), com isso, o seu conjunto-solução é vazio:

$$ S=\varnothing$$

Já na equação

$$ x+5=x+5$$

temos que tal igualdade é válida para todo valor de \( x\) real. Logo, seu conjunto solução é dado por

$$ S=\mathbb{R}$$

Potência

Uma potência é um tipo de operação entre dois números. Chamamos de potência de \(a\) elevado a \(n\) - e escrevemos \(a^{n}^\), onde \(a\) é um número real e \(n\) é um número inteiro positivo, como sendo:

$$ a^{n}=\underbrace{a\cdot a\cdot a\cdot\ldots\cdot a}_{n\;\text{vezes}}$$

E chamamos o número \( a\) de base da potência, enquanto que o número \( n\) é dito ser o seu expoente.

Ou seja, \( a^{n}\) é o número \( a\) multiplicado por ele mesmo \( n\) vezes.

Propriedades de potenciação

Existem algumas propriedades que nos serão de fundamental ajuda nas resoluções das questões:

  • Multiplicação de potência de mesma base: conserva-se a base e somam-se os expoentes.
     $$ a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n}$$
  • Divisão de potência de mesma base: conserva-se a base e subtraem-se os expoentes.
     $$ a^{m}\div a^{n}=a^{m-n}$$
  • Potência de outra potência: conserva-se a base e multiplicam-se os expoentes.
     $$ (a^{m})^{n}=a^{m\cdot n}$$
  • Qualquer número diferente de zero quando elevado a zero, dá 1:
     $$ a^{0}=1,\quad\forall a\in\mathbb{R},a\neq0$$
  • Potência de um produto é o produto das potências:
     
    $$ (a\cdot b)^{n}=a^{n}\cdot b^{n}$$
  • Potência de uma divisão é a divisão das potências:
     
    $$ \left(\frac{a}{b}\right)^{n}=\frac{a^{n}}{b^{n}}$$

Potência de expoente negativo

Para calcularmos a potência \( a^{-n}\), devemos inicialmente inverter a base trocar o sinal do expoente:

$$ a^{-n}=\left(\frac{1}{a}\right)^{n}$$

Potência de expoente fracionário

Quando o expoente é uma fração, então transformamos a potência em uma raiz:

$$ a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^{m}}$$


Exercícios

Exercício 1
(FUVEST)

Dado o sistema

$$ \left\{\begin{array}{l}2^{x}=8^{y+1} \\ 9^{y}=3^{x-9} \end{array}\right.$$

pode-se dizer que \( x+y\) é igual a:

Ilustração: Rapaz corpulento de camiseta, short e tênis acenando

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