Equações do Segundo Grau

Equações do segundo grau podem ser definidas resumidamente como um polinômios de grau dois, ou seja, o maior expoente da variável (x) é 2. Normalmente apresentadas dessa maneira:

\(a \cdot x^2 + b \cdot x + c = 0\

Onde a, b e c são constantes \(\in\) (Pertence) R (Grupo dos Reais). Uma restrição importante é que a seja diferente de 0 , caso contrário não teremos o expoente 2.

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As maneiras mais fáceis de se resolver equações do segundo grau são: utilizando a fórmula de Bhaskara ou uma técnica chamada soma e produto.

Bhaskara

\(\Delta = b^2 - 4 \cdot a \cdot c\)

\(x_{1, 2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2 \cdot a}\)

Demonstração:

A fórmula de Bhaskara é alcançada a partir da forma padrão das equações do segundo grau:

(I) \(a \cdot x^2 + b \cdot x + c = 0\)

Se multiplicarmos ambos os lados por 4a teremos:

\(4 \cdot a^2 \cdot x^2 + 4 \cdot a \cdot b \cdot x + 4 \cdot a \cdot c = 0\)

Utilizando da técnica de completamento de quadrados adicionamos \(b^{2}\) em ambos os lados:

(II) \(4 \cdot a^2 \cdot x^2 + 4 \cdot a \cdot b \cdot x + b^2 + 4 \cdot a \cdot c = b^2\)

Podemos ver que as três primeiras parcelas dessa equação formam um quadrado perfeito: 

\(4 \cdot a^2 \cdot x^2 + 4 \cdot a \cdot b \cdot x + b^2 = (2 \cdot a \cdot x + b)^2\)

Substituindo em (II):

\((2 \cdot a \cdot x + b)^2 + 4 \cdot a \cdot c = b^2\)

Portanto,

\((2 \cdot a \cdot x + b)^2 = b^2 - 4 \cdot a \cdot c\)

A expressão \(b^2 - 4 \cdot a \cdot c\) é muito importante para descobrir como são as raízes, por isso recebe um nome especial, discriminante, representado pelo símbolo \(\Delta\) (Delta). 

Finalmente:

\((2 \cdot a \cdot x + b)^2 = \Delta \rightarrow 2 \cdot a \cdot x + b = \sqrt \Delta \rightarrow x = \frac{-b \pm \sqrt \Delta}{2 \cdot a}\)

Perceba que pode haver mais de uma possível solução para a equação:

\(x_1 = \frac{-b + \sqrt \Delta}{2 \cdot a} ou  x_2 = \frac{-b - \sqrt \Delta}{2 \cdot a}\)

Pois a radiciação de um valor real positivo resulta em dois resultados, um positivo e um negativo. Por exemplo: \(\sqrt 4 = 2 ou -2 pois 2^2 = 4, mas (-2)^2 = 4\).

• Exemplo 1: Encontre as raízes da equação \(2 \cdot x^2 + 3 \cdot x - 2 = 0\) utilizando a fórmula de Bhaskara.

Solução: Primeiramente separamos quais os valores das constantes.

a = 2

b = 3

c = -2

Agora precisamos calcular o valor de \(\Delta\):

\(\Delta = b^2 - 4 \cdot a \cdot c = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 25\)

Agora calculamos os valores das raízes:

\(x_1 = \frac{-b+\sqrt \Delta}{2 \cdot a} = \frac{-3 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 + 5}{4} = \frac 2 4 = \frac 1 2\)

\(x_2 = \frac{-b-\sqrt \Delta}{2 \cdot a} = \frac{-3 - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 - 5}{4} = \frac{-8}{4} = -2\)

• Exemplo 2: Encontre as raízes da equação \(4 \cdot x^2 + 12 \cdot x + 9 = 0\) usando a formula de Bhaskara

Solução: Primeiramente separamos quais os valores das constantes.

a = 4

b = 12

c = 9 

Agora precisamos calcular o valor de \(\Delta\):

\(\Delta = b^2 - 4 \cdot a \cdot c = 12^2 - 4 \cdot 4 \cdot 9 = 144 - 144 = 0\)

Agora calculamos os valores das raízes:

\(x_1 = \frac{-b+\sqrt \Delta}{2 \cdot a} = \frac{-12 + \sqrt{0}}{2 \cdot 4} = \frac{-12}{8} = \frac {-3}{2}\)

\(x_2 = \frac{-b+\sqrt \Delta}{2 \cdot a} = \frac{-12 - \sqrt{0}}{2 \cdot 4} = \frac{-12}{8} = \frac {-3}{2}\)

Soma e produto

Uma maneira menos baseada em fórmulas para resolver equações do segundo grau é utilizando essa técnica. Ela vem da própria fórmula de Bhaskara:

Soma das raizes:

\(x_1 + x_2 = \frac{-b}{a}\)

Demonstração:

\(x_1 + x_2 = \frac{-b + \sqrt \Delta}{2 \cdot a} + \frac{-b - \sqrt \Delta}{2 \cdot a} = \frac{-b + \sqrt \Delta - b - \sqrt \Delta}{2 \cdot a} = \frac{-2b}{2a}\)

Portanto:

\(x_1 + x_2 = \frac{-b}{a}\)

Produto das raízes:

\(x_1 \cdot x_2 = \frac c a\)

Demonstração:

\(x_1 \cdot x_2 = \left( \frac{-b + \sqrt \Delta}{2\cdot a} \right) \cdot \left( \frac{-b - \sqrt\Delta}{2\cdot a} \right) = \frac{(b²) - (\sqrt\Delta)^2}{4\cdot a^2} = \frac{b^2 - \Delta}{4\cdot a^2} = \frac{b^2 - (b^2 - 4 \cdot a \cdot c)}{4\cdot a^2} = \frac{4\cdot a \cdot c}{4 \cdot a^2}\)

Portanto:

\(x_1 \cdot x_2 = \frac c a\)

• Exemplo 3: Resolva a equação \(x^2 - 15 \cdot x + 44 = 0\) por soma e produto

Primeiramente separamos as constantes:

a =1

b = -15

c = 44

Calculamos agora a soma e o produto das raízes:

\(s = \frac{-b}{a} = \frac{-(-15)}{1} = 15\)

\(p = \frac{c}{a} = \frac{44}{1} = 44\)

Agora, precisamos encontrar dois números tais que a soma seja 15 e o produto 44. Mentalmente, 4 e 11. Também pode ser resolvido usando um sistema de equações.

O discriminante

O discriminante é muito importante para o cálculo das raízes e o seu valor é necessário para prever a natureza das raízes das equações do segundo grau

Como mostrado pelo Exemplo 1, caso \(\Delta > 0\) teremos duas raízes reais e distintas

Por outro lado, como mostrado pelo Exemplo 2, caso \(\Delta = 0\) teremos duas raízes reais e iguais

Além disso, caso \(\Delta < 0\) teremos duas raízes não reais (imaginárias)