Polinômios

Antes de introduzirmos o conceito de polinômios, iremos fazer a definição de alguns conceitos para ficar mais claro o entendimento do assunto.

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Um monômio é uma expressão algébrica formada por um número e uma letra. O número é chamado de coeficiente do monômio e a letra, a sua parte literal.

No monômio

$$ -4x^{3}$$

o coeficiente vale \( -4\) e a parte literal, \( x^{3}\).

Chamamos de binômio toda expressão algébrica que é formada por dois monômios, isto é, possui dois termos. Um termo é separado por outro através de uma operação de soma ou de subtração.

Abaixo, temos um exemplo de um binômio

$$ -3xy+2y^{2}$$

Um trinômio é uma expressão algébrica que possui três termos, ou seja, ela é formada por três monômios, conforme ilustra o exemplo abaixo.

$$ 2xy+xy^{2}-3x$$

Um polinômio é uma expressão algébrica formada por 1 ou mais termos. Ou seja, monômio, binômio e trinômio são tipos de polinômios.

Em geral, estudamos polinômios com uma única variável, como por exemplo

$$ 4x^{3}+2x^{2}-5x+6$$

e a esse polinômio, associamos uma função que chamamos de função polinomial. No nosso exemplo, temos:

$$ p(x)=4x^{3}+2x^{2}-5x+6$$

Grau de um polinômio

Chamamos de grau de um polinômio o maior número inteiro de um expoente cujo coeficiente é não-nulo, isto é, é diferente de zero.

Tomando-se novamente o polinômio

$$ p(x)=4x^{3}+2x^{2}-5x+6$$

temos que o seu grau vale 3, pois ele é o maior expoente cujo coeficiente (que é igual a 4) é diferente de zero.

Já o polinômio

$$ p(x)=2x+1$$

tem grau 1, enquanto que o polinômio

$$ p(x)=6$$

tem grau zero.

Grau de um polinômio com mais de uma variável

Porém, a fim de conhecimento, é importante ressaltar que a definição de grau de um polinômio que fora dada acima só vale para polinômios de uma única variável. Para polinômios de mais de uma variável, a fim de determinarmos o seu grau devemos somar os expoentes das partes lineares e tomar o maior valor. Por exemplo, o polinômio

$$ x^{2}y+3x^{2}y^{3}-4xy$$

tem grau 5, pois a soma dos expoentes do 1º, 2º e 3º termos são iguais a, respectivamente, 3, 5 e 2.

Valor numérico de um polinômio

O valor numérico de um polinômio é obtido a partir da substituição da variável por um número.

Assim, tomando o polinômio

$$ p(x)=4x^{3}-2x^{2}-x+1$$

o seu valor numérico para \( x=2\) é dado por

$$ p(2)=4\cdot2^{3}-2\cdot2^{2}-2+1=4\cdot8-2\cdot4-2+1=32-8-2+1=23$$

Raiz de um polinômio

Definimos a raiz (ou zero) de um polinômio como sendo o número real \( x\) cujo valor numérico é igual a zero, isto é, \( x\) será raiz de \( p(x)\) se \( p(x)=0\). Por exemplo, tomando-se o polinômio

$$ p(x)=\frac{x^{3}}{2}-x^{2}+x-2$$

temos que \( x=2\) é uma raiz, pois

$$ p(2)=\frac{2^{3}}{2}-2^{2}+2-2=\frac{8}{2}-4+2-2=4-4+2-2=0$$

Iremos, neste artigo, exemplificar três operações entre polinômios: a adição, a subtração e a multiplicação.

Monômios semelhantes

Monômios semelhantes são aqueles que possuem a parte literal iguais entre si. Por exemplo, os monômios \( 4x^{2}y\) e \( -3x^{2}y\) são semelhantes.

Já os monômios \( -5x^{2}y\) e \( 10xy^{2}\) não são semelhantes entre si.

Quando somamos ou subtraímos monômios, só iremos fazer tais operações entre monômios semelhantes, de modo que mantemos a parte literal e trabalhamos com os coeficientes. Assim,

$$ 4x^{2}y+(-3x^{2}y)=4x^{2}y-3x^{2}y=1x^{2}y$$

e

$$ 4x^{2}y-(-3x^{2}y)=4x^{2}y+3x^{2}y=7x^{2}y$$

Já entre dois monômios não semelhantes, não há o que se fazer em termos de adição e subtração:

$$ 4x^{2}y+10xy^{2}=4x^{2}y+10xy^{2}$$

Podemos multiplicar monômios que são (ou não) semelhantes entre si. Seguimos os seguintes passos:

- mutilplicamos os números;

- mutilplicamos as letras iguais entre si usando a propriedade de multiplicação  potência de mesma base.

Por exemplo, para fazer \(2x^{3}\cdot3x^{4}\), temos que

$$2\cdot3=6$$

e

$$x^{3}\cdot x^{4}=x^{3+4}=x^{7}$$

pois na multiplicação de potências de mesma base, mantemos a base e somamos os expoentes. Assim, obtemos:

$$2x^{3}\cdot3x^{4}=6x^{7}$$

Soma de polinômios

Para somarmos dois (ou mais) polinômios, basta reduzirmos os termos semelhantes, conforme ilustra o exemplo a seguir:

se

\( p_{1}(x)=3x^{2}+2\) e \( p_{2}(x)=4x^{2}-5x+3\)

então

$$ p_{1}(x)+p_{2}(x)=3x^{2}+2+4x^{2}-5x+3=7x^{2}-5x+5$$

Diferença entre polinômios

A diferença entre polinômios ocorre de maneira análoga ao processo de soma de polinômios.

Tomando-se assim os polinômios \( p_{1}(x)\) e \( p_{2}(x)\) como acima, temos que

$$ p_{1}(x)-p_{2}(x)=3x^{2}+2-(4x^{2}-5x+3)=3x^{2}+2-4x^{2}+5x-3=-1x^{2}+5x-1$$

Multiplicação de polinômios

A multiplicação de polinômios consiste-se na aplicação da propriedade distributiva e, por fim, na redução de termos semelhantes:

$$ p_{1}(x)\cdot p_{2}(x)=(3x^{2}+2)\cdot(4x^{2}-5x+3)=12x^{4}-15x^{3}+9x^{2}+8x^{2}-10x+6$$

ou seja

$$ p_{1}(x)\cdot p_{2}(x)=12x^{4}-15x^{3}+17x^{2}-10x+6$$