Função Afim: O que é, Crescente e Decrescente e Coeficiente

Uma função afim, ou função do 1º grau, é uma das bases fundamentais da matemática, especialmente na álgebra. Ela é representada pela expressão $f(x)=ax+b$, onde $x$ é a variável independente, $a$ e $b$ são números reais e $a$ é diferente de zero. Este tipo de função é caracterizado por estabelecer uma relação linear entre $x$ e $f(x)$, resultando em um gráfico em forma de reta.

Exemplo de função afim

• $f(x)=2x+3$

Coeficiente angular (ou inclinação): $a=2$. Isso significa que a função é crescente, e para cada unidade que $x$ aumenta, $f(x)$ aumenta em 2 unidades.

Coeficiente linear (ou intercepto y): $b=3$. Isso indica que a reta corta o eixo y no ponto (0, 3).

Coeficiente Angular (m ou a)

• Definição: É o coeficiente que multiplica a variável $x$ na equação de uma reta. Ele também é conhecido como inclinação da reta.

• Fórmula: Se temos dois pontos P1​(x1​,y1​) e P2​(x2​,y2​) na reta, o coeficiente angular $m$ é dado por:

  m=x2​−x1​ ÷ y2​−y1​​

• Interpretação: O coeficiente angular indica a inclinação ou a "steepness" da reta.

  • Se $m>0$, a reta é crescente.
  • Se $m<0$, a reta é decrescente.
  • Se $m=0$, a reta é horizontal.

• Exemplo Prático: Em um gráfico, se você mover-se 1 unidade horizontalmente ao longo da reta e a reta mover-se verticalmente por $m$ unidades, então $m$ é o coeficiente angular.

Coeficiente Linear (b)

• Definição: É o termo constante na equação da reta. Também é conhecido como o intercepto y, porque indica o ponto onde a reta cruza o eixo y.

• Fórmula: Na equação $f(x)=ax+b$, o termo $b$ é o coeficiente linear.

• Interpretação: O coeficiente linear nos dá o valor de $y$ (ou $f(x)$) quando $x=0$. Ou seja, é o ponto no qual a reta cruza ou "intercepta" o eixo y.

• Exemplo Prático: Se a equação da reta é $f(x)=4x+7$, a reta cruza o eixo y no ponto (0, 7). Portanto, 7 é o coeficiente linear.

Juntos, o coeficiente angular e o coeficiente linear ajudam a definir completamente uma reta no plano cartesiano. Eles determinam a inclinação da reta e onde ela cruza o eixo y, respectivamente.

1. Função Crescente:

• Definição: Uma função $f(x)$ é dita crescente em um intervalo $I$ se, para quaisquer números x1​ e x2​ em $I$, quando x1​<x2​ implica que f(x1​)<f(x2​). Em outras palavras, à medida que $x$ aumenta, $f(x)$ também aumenta.

• Visualmente: No gráfico, a curva ou a linha vai de baixo para cima à medida que se move da esquerda para a direita.

• Exemplo: A função $f(x)=x²$ é crescente para $x>0$. Assim, para qualquer valor de $x$ maior que 0, se tomarmos dois pontos com x1​<x2​, encontraremos f(x1​)<f(x2​).

2. Função Decrescente:

• Definição: Uma função $f(x)$ é dita decrescente em um intervalo $I$ se, para quaisquer números x1​ e x2​ em $I$, quando x1​<x2​ implica que f(x1​)>f(x2​). Em resumo, à medida que $x$ aumenta, $f(x)$ diminui.

• Visualmente: No gráfico, a curva ou a linha vai de cima para baixo à medida que se move da esquerda para a direita.

• Exemplo: Consideremos a função $f(x)=-3x+5$.

  Esta é uma função linear, e o coeficiente angular é -3, que é menor que zero. Por isso, a função é decrescente.

  Como funciona:

  Para qualquer par de pontos x1​ e x2​ com x1​<x2​:

  1. Se x1​=1, então f(x1​)=−3(1)+5=2.
  2. Se x2​=2, então f(x2​)=−3(2)+5=−1.

  Dado que f(x1​)>f(x2​) (2 > -1), isso confirma que a função é decrescente.

  Visualmente: Se você plotar a reta $f(x)=-3x+5$ em um gráfico, verá que a reta se inclina para baixo da esquerda para a direita, indicando uma função decrescente.

Nota Importante: Quando falamos de funções lineares, como $f(x)=mx+b$, o coeficiente $m$ (coeficiente angular) determina se a função é crescente ou decrescente. Se $m>0$, a função é crescente; se $m<0$, é decrescente.