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Índice
Introdução
Podemos dizer que uma equação linear é uma equação do tipo:
\(a_{1}\cdot x_{1}+a_{2}\cdot x_{2}+a_{3}\cdot x_{3}+...+a_{n}\cdot x_{n}=b\),
na qual \(x_{1}, x_{2},...,x_{n}\) são incógnitas, \(a_{1},a_{2},...,a_{n}\) são números reais (coeficientes) e b (que também é um número real) é o termo independente da equação.
Exemplo 1) As equações abaixo são lineares?
- \(x_{1}+2x_{2}-x_{3}-x_{4}=9\) (linear)
- \(3x_{1}+x_{2}+16x_{3}-x_{4}=0\) (linear)
- \(0x_{1}+0x_{2}+0x_{3}+0x_{4}=0\) (linear)
- \(x_{1}x_{3}+2x_{2}+x_{4}=2\) (não linear)
- \(x_{1}^{2}+2x_{2}-\sqrt{x_{3}}+x_{4}=2\) (não linear)
Nesse sentido, um sistema linear é um conjunto de equações lineares. Podemos representá-lo com as próprias equações ou através de matrizes, observe:
\(\begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} &a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix}x_{1}\\ x_{2}\\ x_{3}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}b_{1}\\ b_{2}\\ b_{3}\end{bmatrix}\)
Dizemos que A é a matriz dos coeficientes (ordem m x n), X é a matriz das incógnitas (ordem n x 1) e B é a matriz dos termos independentes (ordem m x 1). Temos então AX=B.
Exemplo 2) Veja como alguns sistemas são escritos na forma matricial.
- A:
- B:
Introduzida essa ideia, vamos entender como são resolvidos os sistemas lineares.
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Método da soma
Este método consiste em somar duas equações com o objetivo de anular pelo menos uma das incógnitas. Vejamos o exemplo 3!
Exemplo 3) Resolva o seguinte sistema:
Resolução: devemos somar a primeira equação com a segunda visando anular a incógnita x ou a incógnita y. Para fazer isso, precisamos primeiro multiplicar a equação 1 por -3 e então somá-la com a equação 2, observe.
\((x+y=-3)\cdot (-3)\Rightarrow -3x-3y=+9\)
Somando, agora, com a equação 2:
Como já sabemos o valor de y, basta substituirmos este valor em qualquer uma das duas equações e determinar o valor de x.
\(x+y=-3\Rightarrow x+14=-3\Rightarrow x=-17\)
Método da substituição
Por outro lado, o método da substituição consiste em isolar uma das incógnitas e substituir a expressão com ela isolada nas outras equações. Confuso? Dá uma olhada no exemplo 4!
Exemplo 4) Resolva o seguinte sistema:
Resolução: vamos isolar o x na primeira equação e substituir esta expressão na segunda equação.
Chegamos ao mesmo valor de antes! Coincidência? Não! Isso só prova para nós que o nosso resultado está correto. Lembre-se, não importa o método que será utilizado para resolver o problema, o resultado final sempre deverá ser o mesmo!
Classificação do sistema linear
Um sistema linear pode ser classificado em relação ao número de soluções que ele possui. Neste sentido, o sistema pode ser:
- Possível e determinado: é possível resolver o sistema e ele possui uma única solução.
- Possível e indeterminado: é possível resolver o sistema, mas ele possui infinitas soluções.
- Impossível: o sistema é impossível de ser resolvido, não possui nenhuma solução.
Observe alguns exemplos de cada tipo abaixo:
- Possível e determinado:
- Possível e indeterminado:
- Impossível:
Revisado por: Ferdinando Caíque Genghini Dantas Lobo
Formado em Matemática pela Universidade Estadual de Campinas (Unicamp), com mestrado na área pela Profmat - Unicamp. Atua como professor de Matemática desde 2012, nos colégios Asther (Campinas-SP) e Villa Lobos (Amparo-SP).
Exercício de fixação
Exercícios sobre Sistemas Lineares para vestibular
ENEM/2010
Algumas pesquisas estão sendo desenvolvidas para se obter arroz e feijão com maiores teores de ferro e zinco e tolerantes à seca. Em média, para cada 100g de arroz cozido, o teor de ferro é de 1,5mg e o de zinco é de 2,0mg. Para 100g de feijão, é de 7mg o teor de ferro e de 3mg o de zinco. Sabe-se que as necessidades diárias dos dois micronutrientes para uma pessoa adulta é de aproximadamente 12,25mg de ferro e 10mg de zinco (Disponivel em http://www.embrapa.br. Acesso em: 29 abr. 2010 (adaptado).
Considere que uma pessoa adulta deseja satisfazer suas necessidades diárias de ferro e zinco ingerindo apenas arroz e feijão. Suponha que seu organismo absorva completamente todos os micronutrientes oriundos desses alimentos. Na situação descrita, que quantidade a pessoa deveria comer diariamente de arroz e feijão, respectivamente
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