Sistemas Lineares

Podemos dizer que uma equação linear é uma equação do tipo:

\(a_{1}\cdot x_{1}+a_{2}\cdot x_{2}+a_{3}\cdot x_{3}+...+a_{n}\cdot x_{n}=b\),

na qual \(x_{1}, x_{2},...,x_{n}\) são incógnitas, \(a_{1},a_{2},...,a_{n}\) são números reais (coeficientes) e b (que também é um número real) é o termo independente da equação.

Exemplo 1) As equações abaixo são lineares?

• \(x_{1}+2x_{2}-x_{3}-x_{4}=9\) (linear)
• \(3x_{1}+x_{2}+16x_{3}-x_{4}=0\) (linear)
• \(0x_{1}+0x_{2}+0x_{3}+0x_{4}=0\) (linear)
• \(x_{1}x_{3}+2x_{2}+x_{4}=2\) (não linear)
• \(x_{1}^{2}+2x_{2}-\sqrt{x_{3}}+x_{4}=2\) (não linear)

Nesse sentido, um sistema linear é um conjunto de equações lineares. Podemos representá-lo com as próprias equações ou através de matrizes, observe:

\(\begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} &a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix}x_{1}\\ x_{2}\\ x_{3}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}b_{1}\\ b_{2}\\ b_{3}\end{bmatrix}\)

Dizemos que A é a matriz dos coeficientes (ordem m x n), X é a matriz das incógnitas (ordem n x 1) e B é a matriz dos termos independentes (ordem m x 1). Temos então AX=B.

Exemplo 2) Veja como alguns sistemas são escritos na forma matricial.

• A: 
  
• B: 
  

Introduzida essa ideia, vamos entender como são resolvidos os sistemas lineares. 

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Este método consiste em somar duas equações com o objetivo de anular pelo menos uma das incógnitas. Vejamos o exemplo 3!

Exemplo 3) Resolva o seguinte sistema:

Resolução: devemos somar a primeira equação com a segunda visando anular a incógnita x ou a incógnita y. Para fazer isso, precisamos primeiro multiplicar a equação 1 por -3 e então somá-la com a equação 2, observe.

\((x+y=-3)\cdot (-3)\Rightarrow -3x-3y=+9\)

Somando, agora, com a equação 2:

Como já sabemos o valor de y, basta substituirmos este valor em qualquer uma das duas equações e determinar o valor de x.

\(x+y=-3\Rightarrow x+14=-3\Rightarrow x=-17\)

Por outro lado, o método da substituição consiste em isolar uma das incógnitas e substituir a expressão com ela isolada nas outras equações. Confuso? Dá uma olhada no exemplo 4!

Exemplo 4) Resolva o seguinte sistema:

Resolução: vamos isolar o x na primeira equação e substituir esta expressão na segunda equação.

Chegamos ao mesmo valor de antes! Coincidência? Não! Isso só prova para nós que o nosso resultado está correto. Lembre-se, não importa o método que será utilizado para resolver o problema, o resultado final sempre deverá ser o mesmo!

Um sistema linear pode ser classificado em relação ao número de soluções que ele possui. Neste sentido, o sistema pode ser:

• Possível e determinado: é possível resolver o sistema e ele possui uma única solução.
• Possível e indeterminado: é possível resolver o sistema, mas ele possui infinitas soluções.
• Impossível: o sistema é impossível de ser resolvido, não possui nenhuma solução.

Observe alguns exemplos de cada tipo abaixo:

• Possível e determinado:

• Possível e indeterminado:

• Impossível: