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Matemática

Sistemas Lineares

Matheus Lemes
Publicado por Matheus Lemes
Última atualização: 14/6/2019

Introdução

Podemos dizer que uma equação linear é uma equação do tipo:

\(a_{1}\cdot x_{1}+a_{2}\cdot x_{2}+a_{3}\cdot x_{3}+...+a_{n}\cdot x_{n}=b\),

na qual \(x_{1}, x_{2},...,x_{n}\) são incógnitas, \(a_{1},a_{2},...,a_{n}\) são números reais (coeficientes) e b (que também é um número real) é o termo independente da equação.

Exemplo 1) As equações abaixo são lineares?

  • \(x_{1}+2x_{2}-x_{3}-x_{4}=9\) (linear)
  • \(3x_{1}+x_{2}+16x_{3}-x_{4}=0\) (linear)
  • \(0x_{1}+0x_{2}+0x_{3}+0x_{4}=0\) (linear)
  • \(x_{1}x_{3}+2x_{2}+x_{4}=2\) (não linear)
  • \(x_{1}^{2}+2x_{2}-\sqrt{x_{3}}+x_{4}=2\) (não linear)

Nesse sentido, um sistema linear é um conjunto de equações lineares. Podemos representá-lo com as próprias equações ou através de matrizes, observe:

\(\begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} &a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix}x_{1}\\ x_{2}\\ x_{3}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}b_{1}\\ b_{2}\\ b_{3}\end{bmatrix}\)

Dizemos que A é a matriz dos coeficientes (ordem m x n), X é a matriz das incógnitas (ordem n x 1) e B é a matriz dos termos independentes (ordem m x 1). Temos então AX=B.

Exemplo 2) Veja como alguns sistemas são escritos na forma matricial.

  • A: 
  • B: 

Introduzida essa ideia, vamos entender como são resolvidos os sistemas lineares. 

Método da soma

Este método consiste em somar duas equações com o objetivo de anular pelo menos uma das incógnitas. Vejamos o exemplo 3!

Exemplo 3) Resolva o seguinte sistema:

Resolução: devemos somar a primeira equação com a segunda visando anular a incógnita x ou a incógnita y. Para fazer isso, precisamos primeiro multiplicar a equação 1 por -3 e então somá-la com a equação 2, observe.

\((x+y=-3)\cdot (-3)\Rightarrow -3x-3y=+9\)

Somando, agora, com a equação 2:


Como já sabemos o valor de y, basta substituirmos este valor em qualquer uma das duas equações e determinar o valor de x.

\(x+y=-3\Rightarrow x+14=-3\Rightarrow x=-17\)

Método da substituição

Por outro lado, o método da substituição consiste em isolar uma das incógnitas e substituir a expressão com ela isolada nas outras equações. Confuso? Dá uma olhada no exemplo 4!

Exemplo 4) Resolva o seguinte sistema:

Resolução: vamos isolar o x na primeira equação e substituir esta expressão na segunda equação.

Chegamos ao mesmo valor de antes! Coincidência? Não! Isso só prova para nós que o nosso resultado está correto. Lembre-se, não importa o método que será utilizado para resolver o problema, o resultado final sempre deverá ser o mesmo!

Classificação do sistema linear

Um sistema linear pode ser classificado em relação ao número de soluções que ele possui. Neste sentido, o sistema pode ser:

  • Possível e determinado: é possível resolver o sistema e ele possui uma única solução.
  • Possível e indeterminado: é possível resolver o sistema, mas ele possui infinitas soluções.
  • Impossível: o sistema é impossível de ser resolvido, não possui nenhuma solução.

Observe alguns exemplos de cada tipo abaixo:

  • Possível e determinado:

  • Possível e indeterminado:

  • Impossível:


Exercícios

Exercício 1
(ENEM/2010)

Algumas pesquisas estão sendo desenvolvidas para se obter arroz e feijão com maiores teores de ferro e zinco e tolerantes à seca. Em média, para cada 100g de arroz cozido, o teor de ferro é de 1,5mg e o de zinco é de 2,0mg. Para 100g de feijão, é de 7mg o teor de ferro e de 3mg o de zinco. Sabe-se que as necessidades diárias dos dois micronutrientes para uma pessoa adulta é de aproximadamente 12,25mg de ferro e 10mg de zinco (Disponivel em http://www.embrapa.br. Acesso em: 29 abr. 2010 (adaptado).

Considere que uma pessoa adulta deseja satisfazer suas necessidades diárias de ferro e zinco ingerindo apenas arroz e feijão. Suponha que seu organismo absorva completamente todos os micronutrientes oriundos desses alimentos. Na situação descrita, que quantidade a pessoa deveria comer diariamente de arroz e feijão, respectivamente

Ilustração: Rapaz corpulento de camiseta, short e tênis acenando

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