Função Quadrática

Galileu Galilei interessou-se por problemas de artilharia e demonstrou que o movimento descrito pelos projéteis descrevem um movimento parabólico. Esse movimento é estudado na função quadrática (ou de segundo grau).

Uma função é dita do segundo grau quando é da forma:

f(x) = a \(\cdot x^2 + b \cdot x + c; \qquad a \neq 0\)

Onde a, b e c são números reais e a é diferente de 0.

a, b, c \(\in \mathbb{R} / a \neq 0\)

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A parábola é o gráfico referente a uma função do segundo grau.

Propriedades

• A parábola corta o eixo das ordenadas no ponto (0; c). O eixo das ordenadas fica na reta onde o valor da grandeza x é igual à 0. Portanto, substituindo esse valor na forma padrão temos:
  
  f(0) = a \(\cdot 0 ^2 + b \cdot 0 + c = c\)
• O discriminante, como visto no texto sobre equações do primeiro grau, determina como serão as raízes, isso implica que ele determina onde a parábola corta o eixo x (abscissas).
• \(\Delta > 0\): implica que a função tem duas raízes reais distintas. Portanto, a parábola corta o eixo x em dois pontos. Exemplo: \(y = x^2 - 6 \cdot x + 5\).

•  \(\Delta = 0\): duas raízes reais iguais implica que a parábola tangencia o eixo das abscissas. Exemplo: \(y = x^2 + 4 \cdot x + 4\).

• \(\Delta < 0\): como não possui raízes reais, o gráfico não corta o eixo x. Exemplo: \(y = x^2 + 2 \cdot x + 4\).

• A parábola é uma curva simétrica. O ponto v é o único ponto da parábola que pertence ao eixo de simetria, ele é denominado vértice da parábola. Veja o eixo de simetria:

• Precisamos agora calcular as coordenadas do vértice da parábola: \((x_v; y_v)\). Para isso, precisamos utilizar a propriedade da simetria. Vamos utilizar dois pontos equidistantes do eixo de simetria, por exemplo as raízes \(x_1\) e \(x_2\). A abscissa do vértice é o ponto médio do segmento que liga as raízes, portanto:
   
   \(x_v = \frac{x_1 + x_2}{2}= \frac{-b}{2 \cdot a}\)
   
   Agora, para descobrirmos o valor de \(y_v\) é só substituir o valor do \(x_v\) encontrado na forma padrão:
   
   \(f(x_v) = y_v = a \cdot \left (\frac{-b}{2 \cdot a} \right)^2 + b \cdot \left (\frac{-b}{2 \cdot a} \right) + c = \frac{a \cdot b^2}{4 \cdot a^2} - \frac{b^2}{4 \cdot a} + c = \frac{b^2}{4 \cdot a} - \frac{2 \cdot b^2}{4 \cdot a} + \frac{4\cdot a \cdot c}{4 \cdot a} = \frac{b^2 - 2 \cdot b^2 + 4 \cdot a \cdot c}{4 \cdot a} = \frac{-b^2 + 4\cdot a \cdot c}{4 \cdot a} = \frac{- (b^2 - 4 \cdot a \cdot b)}{4 \cdot a} = - \frac{\Delta}{4 \cdot a}\)
   
   Portanto, as coordenadas do vértice são \((- \frac{b}{2 \cdot a}; - \frac{\Delta}{4 \cdot a})\)
• O coeficiente a determina a concavidade da parábola, ou seja, se ela é virada para cima ou para baixo. Uma maneira fácil de se lembrar disso é: Caso a seja positivo, o gráfico forma uma “boca sorrindo”, mas caso seja negativo, o gráfico forma uma "boca triste".
• Caso a > 0:

• Caso a < 0: