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Função Quadrática

Matemática - Manual do Enem
Ricardo  Pavan Publicado por Ricardo Pavan
 -  Última atualização: 28/7/2022

Introdução

Galileu Galilei interessou-se por problemas de artilharia e demonstrou que o movimento descrito pelos projéteis descrevem um movimento parabólico. Esse movimento é estudado na função quadrática (ou de segundo grau).

Uma função é dita do segundo grau quando é da forma:

f(x) = a x2+bx+c;a0

Onde a, b e c são números reais e é diferente de 0.

a, b, c R/a0

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Índice

Analise gráfica

A parábola é o gráfico referente a uma função do segundo grau.

Propriedades

  • A parábola corta o eixo das ordenadas no ponto (0; c). O eixo das ordenadas fica na reta onde o valor da grandeza x é igual à 0. Portanto, substituindo esse valor na forma padrão temos:

    f(0) = a 02+b0+c=c
  • O discriminante, como visto no texto sobre equações do primeiro grau, determina como serão as raízes, isso implica que ele determina onde a parábola corta o eixo x (abscissas).
  • Δ>0: implica que a função tem duas raízes reais distintas. Portanto, a parábola corta o eixo x em dois pontos. Exemplo: y=x26x+5.


  •  Δ=0duas raízes reais iguais implica que a parábola tangencia o eixo das abscissas. Exemplo: y=x2+4x+4.


  • Δ<0como não possui raízes reais, o gráfico não corta o eixo x. Exemplo: y=x2+2x+4.


  • A parábola é uma curva simétrica. O ponto v é o único ponto da parábola que pertence ao eixo de simetria, ele é denominado vértice da parábola. Veja o eixo de simetria:


  • Precisamos agora calcular as coordenadas do vértice da parábola: (xv;yv). Para isso, precisamos utilizar a propriedade da simetria. Vamos utilizar dois pontos equidistantes do eixo de simetria, por exemplo as raízes x1 e x2. A abscissa do vértice é o ponto médio do segmento que liga as raízes, portanto:
     
     xv=x1+x22=b2a
     
     Agora, para descobrirmos o valor de yv é só substituir o valor do xv encontrado na forma padrão:
     
     f(xv)=yv=a(b2a)2+b(b2a)+c=ab24a2b24a+c=b24a2b24a+4ac4a=b22b2+4ac4a=b2+4ac4a=(b24ab)4a=Δ4a
     
     Portanto, as coordenadas do vértice são (b2a;Δ4a)
  • O coeficiente a determina a concavidade da parábola, ou seja, se ela é virada para cima ou para baixo. Uma maneira fácil de se lembrar disso é: Caso a seja positivo, o gráfico forma uma “boca sorrindo”, mas caso seja negativo, o gráfico forma uma "boca triste".
  • Caso a > 0:


  • Caso a < 0:


Fórmulas

Exercício de fixação
Passo 1 de 2
UFSM

A figura mostra um retângulo com dois lados nos eixos cartesianos e um vértice na reta que passa pelos pontos A(0,12) e B(8,0).

As dimensões x e y do retângulo, para que sua área seja máxima, devem ser, respectivamente, iguais a

A 4 e 6
B 5 e 9/2
C 5 e 7
D 4 e 7
E 6 e 3
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