Funções

O termo função foi atribuído ao matemático alemão Gottfried Leibniz em 1694. Este termo descreve que o valor de uma grandeza (tempo, distância, velocidade, altura) depende do valor de outra grandeza.

Antes de estabelecermos uma descrição formal de funções, vamos estabelecer o conceito de funções usando um exemplo simples, por ser um assunto um pouco abstrato e de difícil compreensão.

Exemplo 1: Mães e filhos

Usando o conceito de relações, podemos observar uma relação entre filhos (balão da esquerda) e suas respectivas mães (balão da direita). Com isso, podemos estabelecer algumas regras à essa relação:

• Não pode haver um filho(a) sem uma mãe
• Por outro lado, pode haver mães sem filhos
• Pode haver mães com mais de 1 filho(a)

Esse simples conceito pode ser expandido para se entender funções.

Uma função é uma relação entre os elementos de um conjunto A qualquer com os elementos de um conjunto B qualquer (ambos não vazios), de modo que, para todo elemento x pertencente à A, ele se relaciona com apenas um elemento pertencente à B. Em linguagem matemática:

\(\forall \space x \in A, \exists!\space y \in B\)

Observação: \(\forall\) significa para todos, para qualquer.

•  O conjunto A é chamado de Domínio. No nosso exemplo, é o conjunto dos filhos.
•  O conjunto B é chamado de Contradomínio. No nosso exemplo, é o conjunto das mães.

Uma maneira usual de se escrever o Domínio e o Contradomínio de uma função é a seguinte: 

\(D_f \rightarrow CD_f\) onde \(D_f\) representa o conjunto domínio da função \(f\) e \(CD_f\) representa o contradomínio da função \(f\)

Há, ainda, o conjunto Imagem, formado por todos os elementos y de B que possuem, ao menos, uma relação com algum elemento x de A. No nosso exemplo, seria um subconjunto formado apenas pelas mães com filhos.

Outro elemento importante de uma função, é a lei que transforma os elementos x de A em elementos y de B. No nosso exemplo, "ser filho(a) de”.

Outra maneira de ver as funções é como pequenas máquinas nas quais você coloca um elemento x de um lado e, após ser aplicada a lei nesse elemento x, sai o elemento y correspondente do outro lado.

É importante levantar uma observação em relação à representação gráfica das funções. Observe a imagem abaixo:

Esse gráfico não representa uma função, pois como podemos ver, o valor x = 1, por exemplo, apresenta dois valores distintos de y como representações.

Uma maneira fácil de verificar se um gráfico representa uma função é observar se, para qualquer corte paralelo ao eixo y, ele corta o gráfico apenas uma vez, como feito na imagem acima.

Através do gráfico, é possível verificar qual o domínio e a imagem da função. Observe a imagem abaixo:

O domínio da função F(x) (reta em vermelho) pode ser calculado projetando o gráfico no eixo x (abscissas). No caso, obtemos a reta em azul e, portanto, o domínio da função vai de 1 até 6.

Já a imagem da função pode ser obtida projetando o gráfico no eixo y (ordenadas). No caso, obtemos a reta em verde e, portanto, a imagem da função vai de 1 até 4.

• Função injetora: uma função é dita injetora quando todos os elementos do domínio possuem imagens diferentes. No nosso exemplo das mães e filhos, seria uma relação que não possuem mães com mais de um único filho. Simbolicamente:
   
   \(\forall \space x_1 , x_2 \in D_f ,\qquad x_1 \neq x_2 \Leftrightarrow f(x_1) \neq f(x_2)\)
   
   Observação: \(\Leftrightarrow\) significa “se e somente se”.
• Função sobrejetora: uma função é sobrejetora quando o conjunto imagem é o próprio contradomínio, ou seja, não possuem elementos no contradomínio sem relação com algum elemento do domínio. No nosso exemplo, seria o cenário onde todas as mães possuem ao menos um filho. Simbolicamente:
   
   \(\forall \space y\in CD_f , \exists \space x \in D_f \space |\space f(x) = y\)
• Função bijetora: uma função é bijetora quando ela é simultaneamente injetora e sobrejetora.
• Função estritamente crescente: uma função é estritamente crescente se, e somente se, para valores crescentes de x temos valores crescentes de y. Ou seja:
   
   \(\forall \space x_1,x_2 \in D_f ,\qquad x_1 > x_2 \Rightarrow f(x_1) > f(x_2)\)
• Função estritamente decrescente: uma função é dita estritamente decrescente se, e somente se, para valores crescentes de x tem-se valores decrescentes de y. Ou seja:
   
   \(\forall \space x_1,x_2 \in D_f ,\qquad x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2)\)