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Matemática

Raciocínio Lógico

Kauê  Neves
Publicado por Kauê Neves
Última atualização: 18/10/2018

Introdução

Neste artigo veremos alguns tópicos de raciocínio lógico que costumam ser abordados em vestibulares e concursos públicos.

Associações lógicas

Uma questão comum em concursos e vestibulares é a de desvendar as relações entre pessoas, lugares, objetos, profissões e etc., baseado em poucas informações. Vejamos o exemplo a seguir:

Três homens Marcelo, Lucas e Pedro têm profissões diferentes dentre: engenheiro, médico e arquiteto. Além disso, são casados com Jéssica, Kássia e Mariana, não necessariamente nessa ordem já que não sabemos a priori quem é casado com quem. Baseando-se nas informações abaixo, descubra a profissão de cada um e o nome de sua esposa:

  • O engenheiro é casado com Kássia.
  • Lucas é arquiteto.
  • Marcelo não é engenheiro.
  • Mariana não é casada com Lucas.

Para resolver esse tipo de exercício é muito útil criar uma tabela como a seguir que relaciona os maridos, as profissões e as esposas:


EngenheiroMédicoArquitetoJéssicaKássiaMariana
Marcelo





Lucas





Pedro





Jéssica





Kássia





Mariana





Utilizando a informação 1 sabemos que o engenheiro é casado com Kássia (colocamos a letra S no local tabela), e também sabemos que Kássia não pode ser casada com o médico ou o arquiteto (colocamos a letra N nos campos da tabela).

Além disso, sabemos que o engenheiro não pode ser casado com Jéssica ou Mariana. Logo a tabela fica:


EngenheiroMédicoArquitetoJéssicaKássiaMariana
Marcelo





Lucas





Pedro





JéssicaN




KássiaSNN


MarianaN




Utilizando a informação 2, sabemos que Lucas é o arquiteto e também sabemos que não pode ser o médico ou o engenheiro, assim como sabemos que Marcelo e Pedro não são arquitetos, pois os três possuem profissões diferentes. Além disso, sabemos que o Lucas não pode ser casado com Kássia, pois é arquiteto. Logo a tabela fica:


EngenheiroMédicoArquitetoJéssicaKássiaMariana
Marcelo

N


LucasNNS
N
Pedro

N


JéssicaN




KássiaSNN


MarianaN




Utilizando a informação 3 sabemos que Marcelo não é engenheiro e portanto só pode ser médico e assim Pedro deve ser o engenheiro. Como Pedro é o engenheiro sabemos que ele é casado com Kássia. Logo a tabela fica:


EngenheiroMédicoArquitetoJéssicaKássiaMariana
MarceloNSN
N
LucasNNS
N
PedroSNNNSN
JéssicaN




KássiaSNN


MarianaN




No dado 4 temos a informação que faltava para descobrir quem são as esposas de Marcelo e Lucas, pois temos que Mariana não é casada com Lucas, logo deve ser casada com Marcelo e por eliminação Lucas é marido de Jéssica. Tabela final:


EngenheiroMédicoArquitetoJéssicaKássiaMariana
MarceloNSNNNS
LucasNNSSNN
PedroSNNNSN
JéssicaNNS


KássiaSNN


MarianaNSN


Negações de proposições

Negar proposições lógicas é outro tema recorrente em provas. Para resolver esse tipo de exercício deve-se lembrar dos conceitos da lógica matemática.

Leis de De Morgan

As Leis de De Morgan tratam de negar proposições com os operadores e OU. Elas podem ser resumidas pelas equivalências lógicas abaixo:

~(\(\rho\) ^ q) \(\Leftrightarrow\) ~\(\rho\) V ~ q ~(\(\rho\) V q) \(\Leftrightarrow\) ~\(\rho\) ^ ~ q

Proposições compostas pelo operador (\(\rho\) ^ q) somente são verdadeiras quando as duas proposições conectadas por ele são verdadeiras, logo para negar tais proposições compostas basta que uma delas seja falsa (~\(\rho\) V ~ q).

Exemplo: Seja a afirmação “O céu está azul e a grama está verde”. Para negá-la devemos ter “O céu está azul” falsa ou “a grama está verde” falsa, logo sua negação é “O céu não está azul ou a grama não está verde”.

Proposições compostas pelo operador OU (\(\rho\) V q) são verdadeiras quando pelo menos uma das proposições conectadas por ele são verdadeiras, logo para negar tais proposições compostas basta garantir que ambas sejam falsas (~\(\rho\) V ~ q).

Exemplo: Seja a afirmação “A Hermione é ruiva ou Harry é loiro”. Para negá-la devemos ter “Hermione é ruiva” e “Harry é loiro” falsas simultaneamente, logo sua negação é “A Hermione não é ruiva e Harry não é loiro”.

Se então

O condicional ‘Se então’ é somente falso quando a condição (primeira proposição) é verdadeira e a consequência (segunda proposição) é falsa.

Logo, tomando o condicional exemplo \(\rho\) \(\to\) q, a negação seria \(\rho\) ^ ~ q, que só é verdadeiro quando \(\rho\) é verdadeiro e q é falso, exatamente o contrário do que ocorre com o condicional.

Vejamos o exemplo a seguir, retirado do concurso VUNESP para o Tribunal de Justiça de São Paulo:

Considerando falsa a afirmação “Se Ana é gerente, então Carlos é diretor”, a afirmação necessariamente verdadeira é:

  • Ana não é gerente, ou Carlos é diretor.
  • Ana não é gerente, e Carlos não é diretor.
  • Ana é gerente.
  • Ana é gerente, e Carlos é diretor.
  • Carlos é diretor.

Queremos negar o condicional “Se Ana é gerente, então Carlos é diretor” logo a condição “Ana é gerente” deve ser verdade e a consequência “Carlos é diretor” deve ser falsa, logo Ana é gerente e Carlos não é diretor. A única alternativa possível é a “C”.

Generalizações

Quando temos generalizações, ou seja, proposições com quantificadores como “todos” ou “nenhum”, basta achar um contra exemplo para negarmos a proposição. Vejamos o exemplo do exercício da prova FGV/TJ-SC aplicada em 2018:

Considere a afirmação: “Nenhum médico é cego”. A negação dessa afirmação é:

  • Há, pelo menos, um médico cego.
  • Nenhum cego é médico.
  • Todos os médicos são cegos.
  • Todos os cegos são médicos.
  • Todos os médicos não são cegos.

Temos a generalização de que nenhum médico é cego. Para negar essa afirmação, basta existir apenas um médico que seja cego, pois nesse caso ela será sempre falsa. Logo a alternativa “A” é a correta.


Exercícios

Exercício 1
(VUNESP/PC-SP/2018)

Uma negação lógica da afirmação “Marluce é a secretária e Rogério não é o presidente” está contida na alternativa:

Ilustração: Rapaz corpulento de camiseta, short e tênis acenando

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