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Podemos representar um ponto de várias formas através de diferentes informações. Um exemplo prático é a localização de um bairro de alguma cidade, o qual pode ser representado pela latitude e longitude.
Assim, neste texto veremos como configurar um ponto através de dois tipos de sistemas: o sistema polar e o sistema cartesiano.
Extremamente conhecido e utilizado pelos estudantes, o sistema cartesiano pode ser plano ou espacial. Vamos conhecer cada um deles!
O plano cartesiano configura a posição dos pontos através de dois valores, representados pelo par de números reais (x; y).
O valor x corresponde ao valor no eixo x (eixo das abscissas ou eixo Ox) e, analogamente, o valor y corresponde ao valor no eixo y (eixo das ordenadas ou eixo Oy).
O primeiro número na representação do par ordenado é a abscissa do ponto, enquanto o segundo número é chamado de ordenada do ponto.
É comum (mas não necessário) apresentarmos o plano cartesiano com o eixo x na horizontal apontando para a direita e o eixo y na vertical apontando para cima, sendo que os eixos são perpendiculares entre si, como mostra a figura abaixo.
Plano Cartesiano
Portanto, podemos representar os pontos A (1; 1), B (0; 3), C (-4; 2,5), D (0; 0), E (-3; -5) e F (7; -5) como mostra a figura 2.
Exemplo de representação de pontos no plano cartesiano.
Repare no ponto D. Aquela é a origem do sistema cartesiano, a qual chamamos de O (0; 0).
Supondo que o par (a; b) represente um ponto no plano cartesiano, é importante ressaltar que ele é ordenado, ou seja, (a; b)\neq (b; a) quando a\neq b. Portanto, quando os números a e b forem iguais, os pontos (a; b) e (b; a) serão os mesmos, contudo, quando a e b forem diferentes, os pontos (a; b) e (b; a) serão pontos diferentes.
Por exemplo, vamos ver como seria a representação dos ponto M (2; 4) e N (4; 2).
Representação dos pontos M e N.
Exemplo 1) Considere os pontos A (0; 0), B (4; 0), C (4; 3), D (0; 3), E (7; 0) e F (4; 7) e os segmentos de retas AB, BC, CD, AD, DE e EF. Se rotacionarmos em 180º no sentido anti-horário a figura geométrica formada pelas informações acima, qual símbolo obteremos?
Solução: esboçando a figura geométrica informada pelo enunciado:
(IMAGEM)
Assim, vemos que forma-se um 6. Como temos que rotacioná-la em 180º, teremos:
Obtemos o número 9.
O sistema cartesiano pode possuir uma perspectiva tridimensional também. Para que isso aconteça, é necessário que exista um terceiro eixo, o eixo z (eixo de cotas).
Sistema cartesiano espacial.
Neste caso, os pontos são representados por (x; y; z). Vamos ver como os pontos A(0; 1; 3), B(-2; -4; 3) e C(0; 0; 7) são posicionados.
Representação dos pontos A, B e C.
Representação dos pontos A, B e C.
Dificilmente cobrado nos vestibulares e bem menos usual nos exercícios, o sistema polar utiliza como coordenadas um valor de raio e ângulo (r;\Theta) para representar determinados pontos.
Sistema Polar
Tomando como exemplo a figura 7, vemos que o ponto A possui raio de valor 2 e ângulo (o qual sempre é medido em sentido anti-horário) de valor 30º. Os outros pontos possuem coordenadas B(3; 0º), C(3; 90º), D(4; 210º) e E(4; 330º).
Devido ao aumento do fluxo de passageiros, uma empresa de transporte coletivo urbano está fazendo estudos para a implantação de um novo ponto de parada em uma determinada rota. A figura mostra o percurso, indicado pelas setas, realizado por um ônibus nessa rota e a localização de dois de seus atuais pontos de parada, representados por P e Q.
Os estudos indicam que o novo ponto T deverá ser instalado, nesse percurso, entre as paradas já existentes P e Q, de modo que as distâncias percorridas pelo ônibus entre os pontos P e T e entre os pontos T e Q sejam iguais. De acordo com os dados, as coordenadas do novo ponto de parada são:
