Análise Dimensional

A análise dimensional pode nos dar uma noção de qual unidade de medida teremos ao final do cálculo, além de poder ser utilizada para conferir se as contas estão corretas e para adaptar as equações, convertendo unidades de medidas.

Para isso utilizamos as unidades fundamentais do S.I. (sistema internacional de unidades).

É um sistema de unidades onde temos 7 unidades fundamentais e todas as outras são derivadas dessas.

É o sistema mais utilizado no mundo, tanto na ciência, quanto no comércio e seu objetivo é uniformizar todas as medidas.

Esquema com as 7 unidades fundamentais.

As 7 unidades fundamentais são:

• Metro: Sua grandeza é o comprimento e seu símbolo é o m.
• Quilograma: Sua grandeza é a massa e seu símbolo é o kg.
• Segundo: Sua grandeza é o tempo e seu símbolo é o s.
• Ampere: Sua grandeza é a corrente elétrica e seu símbolo é o A.
• Kelvin: Sua grandeza é a temperatura termodinâmica e seu símbolo é o K.
• Mol: Sua grandeza é a quantidade de substância e seu símbolo é o mol.
• Candela: Sua grandeza é a intensidade luminosa e seu símbolo é o cd.

Princípio da Homogeneidade

O princípio da homogeneidade é muito útil na análise dimensional, já que ele nos diz que as unidades do lado esquerdo da equação devem ser iguais as unidades do lado direito da equação.

Podemos ver aplicações desse princípio nos exemplos abaixo.

Exemplo utilizando a fórmula da força resultante da segunda lei de newton

Vamos fazer uma análise da fórmula da força resultante, vindo da segunda lei de Newton, que é: 

Sendo:

• F: Força resultante;
• m: a massa do corpo;
• a: a aceleração que o corpo está sendo submetido.

Mas qual é a unidade da força resultante? 

Fazendo a análise dimensional, temos a resposta. As unidades são colocadas dentro dos colchetes, e são multiplicadas e divididas como a fórmula nos diz, da seguinte forma:

Porém você deve estar acostumado a medir a força resultante utilizando a unidade newtons [N], certo?

Pois saiba que a unidade N pode ser expressa em termos das unidades fundamentais da seguinte forma:

Exemplo utilizando a fórmula da velocidade escalar média

A fórmula da velocidade escalar média é dada por:

Sendo:

• V: a velocidade média;
• : é a diferença de espaço dentro de um intervalo de tempo;
• : o intervalo de tempo.

Fazendo a análise dimensional como no exemplo anterior, temos:

Exemplo utilizando a fórmula da aceleração linear

A fórmula da aceleração linear é dada por:

Sendo:

• a: é a aceleração linear;
• : é  diferença de velocidade dentro de um intervalo de tempo;
• : é o intervalo de tempo;

Fazendo a análise dimensional como no exemplo anterior, temos:

Quando não lembramos de uma fórmula podemos estimar por análise dimensional se tivermos a unidade do valor desejado.

Por exemplo, queremos calcular a velocidade escalar média, e sabemos que sua unidade é m/s, mas não lembramos da fórmula.

Utilizando a análise dimensional (e o princípio da homogeneidade) sabemos que na fórmula devemos ter uma grandeza relacionada a metro (distância) dividida por uma grandeza relacionada a segundos (tempo).

Utilizando a análise dimensional, o princípio da homogeneidade e as relações entre diferentes sistemas de medidas, podemos fazer conversão de unidades nas fórmulas.

Vamos utilizar a fórmula da velocidade escalar média, e transformar km/h para m/s.

Temos as seguintes relações:

Realizando a análise dimensional:

Roberto de Andrade Martins; A BUSCA DA CIÊNCIA A PRIORI NO FINAL DO SÉCULO XVIII E A ORIGEM DA ANÁLISE DIMENSIONAL; 29 de novembro de 2006; Filosofia e História da Ciência no Cone Sul. 3o Encontro. 2a edição. Campinas: Associação de Filosofia e História da Ciência do Cone Sul (AFHIC), 2008