Hidrodinâmica

Fluidos são objetos de estudos há milhares de anos. É de fundamental interesse das civilizações o domínio da tecnologia de obtenção e distribuição da água, desde canais de irrigação, aquedutos e, hoje, o interesse também se estende ao domínio da tecnologia do petróleo.

Com essas motivações, surge os conceitos de hidrodinâmica, a ciência que estuda a dinâmica dos fluidos. Um fluido é uma substância que se deforma continuamente quando submetido a determinados esforços. O movimento contínuo de uma porção de um fluido é chamado de escoamento. 

Para entendermos os conceitos da hidrodinâmica, precisamos definir os tipos de escoamentos de um fluido:

• Um escoamento é chamado de laminar quando as partículas desse escoamento têm trajetórias bem definidas e que não se cruzam, por exemplo um fluxo de água que percorre uma mangueira distante da entrada de água.
• Um escoamento é considerado turbulento quando suas partículas seguem trajetórias desordenadas, onde as partículas se misturam de forma não linear, como o escoamento da fumaça saindo do cigarro.

Vazão

É muito conveniente medirmos a quantidade de um fluido através de seu volume, uma vez que um líquido tem a capacidade de preencher o volume dos recipientes em que estão sujeitos.

Uma vez que definimos o que é um escoamento, a quantidade de fluido que percorre um escoamento por unidade de tempo pode ser contabilizada em termos de sua vazão.

Vazão volumétrica, ou simplesmente vazão (Q) é quantidade de volume que atravessa uma área do escoamento por unidade de tempo:

\(Q = \frac{\Delta V}{\Delta t}\)

Onde \(\Delta V\) é a variação de volume do fluido e \(\Delta t\) o intervalo de tempo.

Também pode ser definida a vazão mássica \(Q_{m}\), que é a quantidade de massa que flui no volume de fluido por unidade de tempo.

\(Q_{m} = \frac{\Delta m}{\Delta t}\)

Uma vez que a densidade \(\rho\) é definida como \(\rho = \frac{m}{V}\), a relação entre a vazão mássica e a vazão volumétrica é \(\frac{Q_{m}}{Q} = \rho\). Portanto:

\(Q_{m} = \rho Q\)

Considere um escoamento através de uma seção onde sofre uma redução da sua área, como mostrado na figura abaixo:

A quantidade de massa que percorre o fluido deve ser constante ao longo do escoamento. Logo, a vazão Q também deve ser constante ao longo de todo o escoamento.

Considere a porção de fluido na área maior se movendo com uma velocidade \(v_{1}\), atravessando uma área \(A_{1}\). A velocidade é dada por \(v_{1} = \frac {\Delta S}{\Delta t}\), o volume por \(\Delta V = A_{1}.\Delta S\).

Logo, \(Q = \frac{\Delta V}{\Delta t} \Rightarrow Q = \frac{A_{1}. \Delta S}{\Delta t} \). E portanto, \(Q = A_{1}.v_{1}\).

Aplicando o mesmo raciocínio para a área menor, tem-se:

\(Q = A_{2}.v_{2} = A_{1}.v_{1}\).

Essa relação é conhecida como equação da continuidade. Ela descreve que quando um escoamento sofre uma redução de área, sua velocidade aumenta. Esse fato pode ser observado quando colocamos o dedo na saída de água de uma mangueira. O nosso dedo oferece uma redução de área ao escoamento da mangueira e, por fim, ela ganha mais velocidade.

Considere um escoamento não viscoso, incompressível e sem atrito. Logo, não há perdas de energia.

Podemos utilizar o princípio da conservação da energia para os pontos A e B do escoamento. Para isso, descrevemos o trabalho realizado pela pressão da seguinte maneira:

\(p_{1} = \frac {F_{1}}{A} \Rightarrow p_{1}.A = F_{1}\)

O trabalho realizado por uma força é dado por \(W = F.\Delta S \Rightarrow W = p_{1}.A.\Delta S = p_{1}.V\)

Onde \(V\) é o volume que se desloca do fluido. Logo, pelo princípio da conservação de energia entre os pontos A e B, tem-se:

\(p_{1}.V + m.\frac{v_{1}^2}{2} + m.g.h_{1} = p_{2}.V + m.\frac{v_{2}^2}{2} + m.g.h_{2}\)

Dividindo toda a equação pelo volume \(V\) e lembrando que \(\rho = \frac{m}{V}\), a equação se reduz a:

\(p_{1} + \rho \frac{v_{1}^2}{2} + \rho.g.h_{1} = p_{2} + \rho \frac{v_{2}^2}{2} + \rho.g.h_{2}\)

Generalizando para qualquer ponto, temos que:

\(p + \rho \frac{v^2}{2} + \rho.g.h = constante\)

Essa equação é conhecida como equação de Bernoulli, uma homenagem aos trabalhos de Daniel Bernoulli, que foram de fundamental importância para o desenvolvimento dos conceitos de hidrodinâmica. 

Essa equação, nos leva a pensar em um primeiro modelo de funcionamento de uma asa de um avião. Considerando a variação de altura pequena, tem-se:

\(p + \rho \frac{v^2}{2} = constante\)

Se as velocidades entre dois pontos são diferentes, há uma diferença de pressão entre esses pontos o que ocasiona uma força em direção da maior para a menor pressão.

A asa de um avião é projetada de forma que a velocidade do ar entre a parte superior e a parte inferior da asa sejam diferentes, ocasionando uma força que é responsável por manter o avião no ar. Essa força é chamada de força de sustentação.