O lançamento vertical envolve um corpo movendo-se verticalmente sem considerar o atrito do ar. Quando lançado para cima, sua velocidade diminui devido à gravidade até alcançar o ponto mais alto.
Queda livre refere-se a corpos movendo-se apenas sob influência da gravidade, com aceleração constante. Em altitudes baixas, este movimento é praticamente puro, desconsiderando resistências.
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Queda Livre:
Lançamento Vertical:
Ambos os movimentos são influenciados diretamente pela aceleração da gravidade.
Nesse caso, como o corpo é abandonado, a velocidade inicial é zero, e a aceleração é a gravidade (g). Então, a equação horária da velocidade pode ser escrita como:
\[ v=v_{0}+a\qquad t \qquad \xrightarrow{}\qquad v=g \qquad t \]
A velocidade instantânea é diretamente proporcional ao tempo de queda.
Além disso, S-S0 (\(\Delta S\)) será a altura que o corpo terá percorrido durante certo tempo. Assim, pode-se escrever a equação horária da posição como:
\[ S-S_{0}=v_{0}\qquad t + \dfrac{a\qquad t^{2}}{2} \qquad \xrightarrow{}\qquad H=\dfrac{g\qquad t^{2}}{2} \]
Essa equação denota que a altura percorrida depende do quadrado do tempo de queda, ou seja, uma relação quadrática. Assim, o gráfico H x t será uma parábola, como é esperado em um MRUV.
Caso seja desejado o tempo de queda, basta isolar t na equação anterior, obtendo:
\[ t=\sqrt{\dfrac{2H}{g}} \]
É importante prestar atenção no referencial adotado. Nessa equação, H é a altura percorrida nos t segundos de queda, de cima para baixo.
Ao aplicar essas equações, é muito comum aproximar a gravidade na superfície da Terra para g=10 m/s2. Se for considerada uma situação na Lua ou em outro planeta, a gravidade assumirá outro valor.
Exemplo: uma pedra é abandonada do topo de um edifício de 45 metros de altura. Determine:
Resolução:
Desse exemplo, percebe-se que em 3 segundos de queda, um corpo percorre 45 metros. A tabela abaixo correlaciona os tempos de queda mais comuns em problemas, com suas respectivas alturas (através da fórmula H=\frac{g t^{2}}{2}):
Tempo (s) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
Altura (m) | 5 | 20 | 45 | 80 | 125 | 180 |
Ainda no exemplo anterior, foi visto que no primeiro segundo de queda a pedra percorreu 5 metros. É possível calcular o quanto ela percorreu no 2º e no 3º segundos de queda:
Com t=2 segundos, têm-se H=20 metros. Ou seja, em dois segundos, o corpo percorreu 20 metros. Mas desses 20 metros, 5 já haviam sido percorridos no primeiro segundo. Assim, entre t=1 e t=2, a pedra percorreu 15 metros.
Usando o mesmo raciocínio, entre t=2 e t=3 a pedra percorreu 45-20 = 25 metros.
As distâncias percorridas a cada segundo extra de queda formam uma progressão aritmética, de razão igual à aceleração, que tem relação com a P.A. de Galileu.
entre 0 e 1 segundo | entre 1 e 2 segundos | entre 2 e 3 segundos | diferença constante=razão da PA |
5 metros | 15 metros | 25 metros | 10 metros |
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Ao analisar o lançamento vertical para cima, novamente serão aplicadas as equações do MRUV. Nesse caso, é mais conveniente estabelecer um referencial orientado de baixo para cima.
Assim, a velocidade inicial é positiva (para cima) e a aceleração é negativa.
\[ v=v_{0}-g \qquad t \]
Como o corpo lançado vai subir e, posteriormente, descer, haverá um tempo de subida e uma altura máxima atingida, além, é claro, do tempo de descida.
O tempo de subida é mais facilmente determinado utilizando a função horária da velocidade. No ponto mais alto da trajetória, o móvel está invertendo o sentido do movimento (estava subindo e passa a descer). Portanto, nesse instante, sua velocidade é nula. Assim:
\[ v=v_{0}-g \qquad t \qquad \xrightarrow{}\qquad 0=v_{0}-g \qquad t_{s} \]
\[ t_{s}=\dfrac{v_{0}}{g} \]
O tempo de descida será igual ao tempo de subida. Isso ocorre pois a parábola que descreve um MRUV é simétricaem relação ao seu vértice, que é justamente o ponto de inversão do sentido do movimento.
A partir desse ponto, onde a velocidade é nula, o movimento é idêntico a uma queda livre (caindo acelerado com velocidade inicial zero). Desse modo, pode-se utilizar a expressão \(H=\frac{gt^2}{2}\):
Substituindo:
\[ H_{max}=\dfrac{{v_{0}}^{2}}{2\qquad g} \]
Para uma posição e instante genéricos do lançamento, basta aplicar a equação horária da posição, tendo cuidado com o referencial adotado.
\[ \Delta S = H = v_{0}\qquad t - \dfrac{g\qquad t^{2}}{2} \]
Observação: o tempo de subida e descida são iguais quando considerada a altura final igual à inicial. Por exemplo, o corpo sendo lançado do chão e retornando ao chão, ou lançado de um telhado e retornando ao telhado.
Se o corpo for lançado a partir de um telhado, para cima, e finalizar seu movimento no chão, seu tempo de descida será maior que o de subida, pois percorrerá maior distância na descida que na subida.
Nesse caso de tempo de descida igual ao tempo de subida, ainda pode-se determinar o tempo total de vôo:
\[ t_{voo}=t_{s}+t_{d}=\dfrac{2\qquad v_{0}}{g} \]
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Em um lançamento vertical para baixo, são aplicadas as equações do MRUV, sem grande simplificação. É importante ter atenção para o referencial adotado, especialmente se o problema envolver mais de um movimento (entre lançamento para cima, para baixo e queda livre).
Se isso ocorrer, deve ser utilizado o mesmo referencial para analisar os diferentes movimentos.
Se for considerado somente o lançamento para baixo, pode ser mais conveniente usar o primeiro referencial exemplificado.
Relembrando as equações do MRUV que são aplicadas:
\[ S=S_{0} + v_{0}\qquad t + \frac{a \qquad t^{2}}{2} \] e \[ v=v_{0} + a\qquad t \]
Nelas, a aceleração será +g ou -g.
Além disso, tanto nos lançamentos verticais quanto na queda livre pode ser aplicada a equação de Torricelli:
\[ v^{2}=v_{0}^{2}+2\qquad a\qquad \Delta S \]
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QUEDA LIVRE | ||
\(H\frac{gt^2}{2}\) | \(v=gt}\) | \(t=\sqrt{2H}{g}\) |
LANÇAMENTO VERTICAL PARA CIMA | ||
\(\Delta S=H=v_0t-\frac{gt^2}{2}\) | \(v=v_0-gt\) | \(h_{max}=\frac{v_0^2}{2g}\) |
\(t_s=\fracv_0}{g} | \(t_{voo}=t_s+t_d=\frac{2v_0}{g}\) | |
LANÇAMENTO VERTICAL PARA BAIXO | ||
\(S=S_0+v_0t=\frac{at^2}{2}\) | \(v=v_0+at\) | \(v^2=v^2_0+2a\Delta S\) |
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Numa filmagem, no exato instante em que um caminhão passa por uma marca no chão, um dublê se larga de um viaduto para cair dentro de sua caçamba. A velocidade v do caminhão é constante e o dublê inicia sua queda a partir do repouso, de uma altura de 5 m da caçamba, que tem 6 m de comprimento. A velocidade ideal do caminhão é aquela em que o dublê cai bem no centro da caçamba, mas a velocidade real v do caminhão poderá ser diferente e ele cairá mais à frente ou mais atrás do centro da caçamba. Para que o dublê caia dentro da caçamba, v pode diferir da velocidade ideal, em módulo, no máximo: